Esistenza di una funzione iniettiva
Avrei bisogno di una mano per rispondere a un quesito sull'esistenza di un'applicazione lineare iniettiva. Se può esservi d'aiuto, fa parte del capitolo dedicato al nucleo delle applicazioni lineari, quindi credo si debba rispondere basandosi sulle proprietà del nucleo.
Esiste un'applicazione lineare 
che sia iniettiva? Fornire un esempio in caso di risposta affermativa e spiegare il motivo in caso di risposta negativa.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione lineare
sia iniettiva è che il nucleo di 
sia banale, ossia sia formato dal solo zero di 
.Per definizione, il nucleo di
è formato da tutti e soli i vettori di la cui immagine mediante la è uguale allo zero di 
, dunque possiamo asserire che è iniettiva se e solo se l'unico vettore che viene trasformato nello zero di è lo zero di .Alla luce di queste premesse, un esempio notevole di applicazione lineare
che sia iniettiva è l'applicazione lineare identica, ossia quella trasformazione che a ogni vettore di 
associa il vettore stesso.
Evidentemente l'unico vettore che ha come immagine lo zero di
è il vettore nullo di , cosicché il nucleo di è banale, e quindi è iniettiva.È tutto!
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