Soluzioni
  • Condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione lineare f:V \to W sia iniettiva è che il nucleo di f sia banale, ossia sia formato dal solo zero di V.

    Per definizione, il nucleo di f è formato da tutti e soli i vettori di V la cui immagine mediante la f è uguale allo zero di W, dunque possiamo asserire che f è iniettiva se e solo se l'unico vettore che viene trasformato nello zero di W è lo zero di V.

    Alla luce di queste premesse, un esempio notevole di applicazione lineare f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 che sia iniettiva è l'applicazione lineare identica, ossia quella trasformazione che a ogni vettore di \mathbb{R}^2 associa il vettore stesso.

    f(\mathbf{v})=\mathbf{v} \ \ \ \forall \mathbf{v} \in V

    Evidentemente l'unico vettore che ha come immagine lo zero di \mathbb{R}^2 è il vettore nullo di \mathbb{R}^2, cosicché il nucleo di f è banale, e quindi è iniettiva.

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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