Soluzioni
  • Dobbiamo esprimere a parole le proprietà delle potenze che giustificano le uguaglianze

    \begin{array}{llll}(a)\ \ \ 10^3\times 10^{5}=10^{8}&&& (b) \ \ \ (7^{6})^{2}=7^{12}\\ \\ (c) \ \ \ 20^{7}:4^{7}=5^{7}&&& (d) \ \ \ 3^{5}\times 2^{5}=6^{5} \\ \\ (e)\ \ \ \dfrac{5^3}{5^2}=5 &&& (f) \ \ \ 5^{0}=1\end{array}

    Partiamo dalla prima.

    (a) \ \ \ 10^{3}\times 10^{5}=10^{8}

    Si usa la proprietà secondo cui il prodotto di potenze con la stessa base è uguale alla potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

    (b) \ \ \ (7^{6})^{2}=7^{12}

    L'uguaglianza è giustificata dalla proprietà secondo cui la potenza di una potenza coincide con la base elevata al prodotto degli esponenti.

    (c) \ \ \ 20^{7}:4^{7}=5^{7}

    In questa circostanza interviene la proprietà sul quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente. Essa stabilisce che il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è a sua volta una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

    20^{7}:4^{7}=(20:4)^{7}=5^{7}

    (d) \ \ \ 3^5\times 2^{5}=6^{5}

    La proprietà che garantisce questa uguaglianza è quella che riguarda il prodotto di due potenze con lo stesso esponente: esso è uguale a una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente dei fattori

    3^{5}\times 2^{5}=(3\times 2)^{5}=6^{5}

    (e) \ \ \ \frac{5^{3}}{5^{2}}=5

    L'uguaglianza è giustificata dalla:

    - proprietà secondo cui il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti;

    - definizione di potenza con esponente uno: un numero elevato a 1 è uguale a se stesso

    \frac{5^{3}}{5^{2}}=5^{3-2}=5^{1}=5

    (f) \ \ \ 5^{0}=1

    L'uguaglianza è praticamente la definizione di potenza con esponente nullo: un numero, diverso da 0, elevato a 0 dà uno.

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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