Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione complessa

    (z+1)^2=-\frac{2}{i}\cdot(\sqrt{3}+i)

    svolgiamo innanzitutto le operazioni tra i numeri complessi al secondo membro

    (z+1)^2=-\frac{2}{i}\sqrt{3}-\frac{2}{i}\cdot i

    Moltiplichiamo e dividiamo -\frac{2}{i} per i e semplifichiamo l'unita immaginaria nel prodotto -\frac{2}{i}\cdot i

    \\ (z+1)^2=-\frac{2\cdot i\cdot\sqrt{3}}{i\cdot i}-2 \\ \\ \\ (z+1)^2=-2+2\sqrt{3}i

    Procediamo per sostituzione ponendo w=z+1, così da ricondurci all'equazione

    w^2=-2+2\sqrt{3}i

    le cui soluzioni coincidono con le radici quadrate del numero complesso s=-2+2\sqrt{3}i.

    Scriviamo la parte reale e la parte immaginaria di s

    \mbox{Re}(s)=-2 \ \ \ , \ \ \ \mbox{Im}(s)=2\sqrt{3}

    e usiamole per calcolare modulo e argomento del numero complesso.

    \\ ||s||=\sqrt{[\mbox{Re}(s)]^2+[\mbox{Im}(s)]^2}=\\ \\ =\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2}= \\ \\ =\sqrt{4+4\cdot 3}=\sqrt{16}=4 \\ \\ \\ \mbox{Arg}(s)=\arctan\left(\frac{\mbox{Im}(s)}{\mbox{Re}(s)}\right)+\pi=\\ \\ \\ =\arctan\left(-\sqrt{3}\right)+\pi=\frac{2\pi}{3}

    A questo punto sfruttiamo la formula

    \\ w_{k}=\sqrt{||s||}\left[\cos\left(\frac{\mbox{Arg}(s)+2k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\mbox{Arg}(s)+2k\pi}{2}\right)\right]\\ \\ \\ \mbox{con} \ k=0,1

    che, una volta sostituiti ||s||=4,\ \mbox{Arg}(s)=\frac{2\pi}{3}, restituisce i valori

    \\ w_{k}=\sqrt{4}\left[\cos\left(\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{2}\right)\right]= \\ \\ \\ =2\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}+k\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+k\pi\right)\right]

    dove k=0 oppure k=1.

    Per k=0 otteniamo il numero complesso in forma trigonometrica:

    w_{0}=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]=

    che in forma cartesiana diventa

    =2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}

    Per k=1 otteniamo invece:

    \\ w_{1}=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)\right]= \\ \\ \\ =2\left[\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right]=\\ \\ \\ =2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-\sqrt{3}i

    Le soluzioni dell'equazione di secondo grado

    w^2=-2+2\sqrt{3}i

    sono pertanto

    w_0=1+\sqrt{3}i \ \ \ ,\ \ \ w_1=-1-\sqrt{3}i

    Attenzione, non abbiamo ancora finito! Dobbiamo ritornare all'incognita z, tenendo conto della sostituzione

    w=z+1 \ \ \ \to \ \ \ z=w-1

    Se w=w_0, otteniamo la soluzione

    z_0=w_0-1=1+\sqrt{3}i-1=\\ \\ =\sqrt{3}i

    invece, se w=w_1 ricaviamo

    \\ z_1=w_1-1= -1-\sqrt{3}i-1=\\ \\ =-2-\sqrt{3}i

    Ora l'esercizio è concluso!

    Risposta di Ifrit
 
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