Esercizio con equazione complessa e radici complesse

Question

Non riesco a risolvere un'equazione di secondo grado in campo complesso. Ho tentato diversi approcci, senza venirne a capo. Determinare tutti i valori di z∈C che soddisfano la seguente equazione (z+1)^2 = -(2)/(i)·(√(3)+i) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per risolvere l'equazione complessa (z+1)^2 = -(2)/(i)·(√(3)+i) svolgiamo innanzitutto le operazioni tra i numeri complessi al secondo membro (z+1)^2 = -(2)/(i)√(3)-(2)/(i)·i Moltiplichiamo e dividiamo-(2)/(i) per i e semplifichiamo l'unita immaginaria nel prodotto-(2)/(i)·i ; (z+1)^2 = -(2·i·√(3))/(i·i)-2 ; (z+1)^2 = -2+2√(3)i Procediamo per sostituzione ponendo w = z+1, così da ricondurci all'equazione w^2 = -2+2√(3)i le cui soluzioni coincidono con le radici quadrate del numero complesso s = -2+2√(3)i. Scriviamo la parte reale e la parte immaginaria di s Re(s) = -2 , Im(s) = 2√(3) e usiamole per calcolare modulo e argomento del numero complesso. ; ||s|| = √([Re(s)]^2+[Im(s)]^2) = √((-2)^2+(2√(3))^2) = √(4+4·3) = √(16) = 4 ; Arg(s) = arctan((Im(s))/(Re(s)))+π = arctan(-√(3))+π = (2π)/(3) A questo punto sfruttiamo la formula ; w_(k) = √(||s||)[cos((Arg(s)+2kπ)/(2))+isin((Arg(s)+2kπ)/(2))] ; con k = 0,1 che, una volta sostituiti ||s|| = 4, Arg(s) = (2π)/(3), restituisce i valori ; w_(k) = √(4)[cos(((2π)/(3)+2kπ)/(2))+isin(((2π)/(3)+2kπ)/(2))] = 2[cos((π)/(3)+kπ)+isin((π)/(3)+kπ)] dove k = 0 oppure k = 1. Per k = 0 otteniamo il numero complesso in forma trigonometrica: w_(0) = 2[cos((π)/(3))+isin((π)/(3))] = che in forma cartesiana diventa = 2((1)/(2)+i(√(3))/(2)) = 1+i√(3) Per k = 1 otteniamo invece: ; w_(1) = 2[cos((π)/(3)+π)+isin((π)/(3)+π)] = 2[cos((4π)/(3))+isin((4π)/(3))] = 2(-(1)/(2)-i(√(3))/(2)) = -1-√(3)i Le soluzioni dell'equazione di secondo grado w^2 = -2+2√(3)i sono pertanto w_0 = 1+√(3)i , w_1 = -1-√(3)i Attenzione, non abbiamo ancora finito! Dobbiamo ritornare all'incognita z, tenendo conto della sostituzione w = z+1 → z = w-1 Se w = w_0, otteniamo la soluzione z_0 = w_0-1 = 1+√(3)i-1 = √(3)i invece, se w = w_1 ricaviamo ; z_1 = w_1-1 = -1-√(3)i-1 = -2-√(3)i Ora l'esercizio è concluso!