Soluzioni
  • Per vedere se una successione di funzioni \{f_n(x)\} converge uniformemente in un intervallo [a,b] ad un limite f(x), bisogna fissare il valore di n e determinare il

    sup_{x\in [a,b]}{|f_{n}(x)-f(x)|}

    se tale estremo superiore converge a zero per n\to +\infty, allora la successione di funzioni converge uniformemente sull'intervallo considerato.

    Nel nostro caso

    f_{n}(x)=\frac{\sin{(x\sqrt{n})}}{nx}

    evidentemente ha limite puntuale (calcolato per n\to +\infty e x fissato)

    \lim_{n\to +\infty}{f_{n}(x)}=0

    perché il seno è una funzione limitata tra -1 e +1.

    Passiamo alla convergenza uniforme: consideriamo

    sup_{x\in (0,1)}{\left|\frac{\sin{(x\sqrt{n})}}{nx}\right|}

    Il seno è una funzione limitata tra -1 e +1, il problema si pone quando x è "piccolo", ma in tal caso possiamo considerare l'equivalente asintotico

    \sin{(x\sqrt{n})}\sim x\sqrt{n}

    quindi in un intorno destro di x=0

    \frac{\sin{(x\sqrt{n})}}{nx}\sim \frac{x\sqrt{n}}{xn}=\frac{1}{\sqrt{n}}

    Vogliamo stare tranquilli? Nessun problema!

    sup_{x\in (0,1)}{\left|\frac{\sin{(x\sqrt{n})}}{nx}\right|}\leq\frac{100}{\sqrt{n}}

    Passando al limite per n\to +\infty, per il teorema del confronto, abbiamo che l'estremo superiore converge a zero, e quindi la successione considerata converge uniformemente sull'intervallo (0,1) alla funzione f(x)=0.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille!

    Risposta di Neumann
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