Applicare il teorema di Rolle in un esercizio
Ciao ho dei dubbi sull'applicazione del teorema di Rolle in un esercizio di Analisi.
Si applichi il Teorema di Rolle per dimostrare che la funzione f(x) = x^4-6x^2+5x, con x € [0,1] ammette almeno un punto c € (0,1) in cui si annulla la derivata.
- Tale punto é unico?
- Nel caso in cui sia unico dire se si tratta di un punto di massimo o di minimo.
La funzione é continua in quanto é un polinimio e derivabile in quanto il suo dominio é tutto R, corretto?
f(a)=f(b) quindi esiste c appartenente all'intervallo (0,1) tale che f'(c)=0, l'esercizio non chiede di individuare tale punto.
Per verificare se é unico devo studiare l'andamento della derivata prima? Grazie mille!
Arrivo rinovanchi :) nel frattempo la lettura consigliata è, inevitabilmente, la lezione sul teorema di Rolle.
Risposta di Ifrit
Devi studiare la crescenza e la decrescenza della derivata prima, dunque devi studiare il segno della derivata seconda in [0,1]. Ti accorgerai che la derivata seconda è sempre negativa e quindi la derivata prima è monotona decrescente in [0, 1]. Questo ti assicura che il punto in cui si annulla la derivata prima è unico.
Ad ogni modo complimenti, l'esercizio è corretto ;)
Risposta di Ifrit
Non ho ben capito; non è sufficiente studiare la derivata prima e in caso in cui questa sia monotona poter affermare che il punto è unico? Inoltre studiando l'andamento di questa poter affermare se si tratta di minimo o di massimo?
Grazie
Risposta di rinovanchi
No perché a te interessa quante volte si annulla la derivata prima, non la funzione di partenza. Se scopri che la derivata prima è monotona allora sei a cavallo! :)
Per capirlo però devi studiare il segno della derivata seconda. Ti trovi?
Risposta di Ifrit
No, sinceramente non ho capito, da quello che ho compreso studiando le vostre lezione: con la derivata prima trovo i massimi e minimi e verifico la monotonia della funzione, con la derivata seconda studio la concavitá.
Cosa mi sfugge?
Non é corretto dire che se la derivata prima é sempre positiva o sempre negativa allora questa é monotona e posso decretare che il punto é unico e poi a seconda dell'andamento della derivata stabilire se sia un massimo o un minimo?
Forse la cosa migliore é se mi svolgi i passaggi per risolvere i due punti cosicché io vedo cosa non ho capito!
Grazie infinite per la pazienza!
Risposta di rinovanchi
Seguimi un secondo. L'esercizio ti sta chiedendo se il punto che annulla la derivata prima è unico. Per verificarlo, abbiamo bisogno che la derivata prima sia monotona. Per verificare la monotonia della derivata prima dobbiamo studiare la "derivata prima" della derivata prima cioè la derivata seconda.
Immagina questo. Tu hai la funzione
con ![x∈ [0, 1]](data:image/gif;base64,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){kind=small}
Vuoi dimostrare che esiste ed è unico il punto, in (0,1) che annulla la derivata prima.
L'esistenza l'hai dimostrata, per l'unicità devi sperare che la funzione 
sia monotona. Per studiare la monotonia, studi il segno della derivata seconda, che rappresenta la derivata prima della derivata prima (oddio, scusami, il concetto è semplice, ma non riesco ad esternarlo come vorrei).
Risposta di Ifrit
In una parola sei stato PERFETTO!
Risposta di rinovanchi