Integrale di un logaritmo per parti

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Ho l'integrale di un logaritmo che ho provato a calcolare per parti: potreste spiegarmi come risolverlo con l'integrazione per parti?

 

\int\log(x^2+3)dx

 

Inoltre ho ancora un piccolo dubbio sull'integrazione per sostituzione. È possibile operare la sostituzione per variabili al quadrato? Ad esempio x^2=t? Non ne sono sicuro per l'esistenza di due soluzioni.

Domanda di Brizio92

 
Soluzioni

  • L'integrale indefinito

    \int\log(x^2+3)dx

    si risolve con il metodo di integrazione per parti, ossia utilizzando la formula

    \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx

    dove f(x) è il fattore finito, facile da derivare, mentre g'(x) è il fattore differenziale, facile da integrare.

    In questo caso è conveniente scegliere la funzione logaritmica come fattore finito, e la funzione costante y=1 come fattore differenziale.

    \\ f(x)=\log(x^2+3)\implies f'(x)=\frac{2x}{x^2+3}\\ \\ \\ g'(x)=1\implies g(x)=x

    Osserviamo che la derivata di f(x) si ottiene utilizzando la regola di derivazione della funzione composta.

    Usiamo la formula di integrazione

    \\ \int\log(x^2+3)dx= x\log(x^2+3)-\int\frac{2x^2}{x^2+3}dx= \\ \\ \\ =x\log(x^2+3)-2\int\frac{x^2}{x^2+3}dx=

    e al numeratore dell'integrale rimasto sommiamo e sottraiamo 3, dopodiché eseguiamo dei passaggi algebrici il cui compito è quello di semplificare i conti 

    \\ =x\log(x^2+3)-2\int\frac{x^2+3-3}{x^2+3}dx= \\ \\ \\ = x\log(x^2+3)-2\left(\int\frac{x^2+3}{x^2+3}dx-\int\frac{3}{x^2+3}dx\right)= \\ \\ \\ = x\log(x^2+3)-2\left(\int dx-\int\frac{3}{x^2+3}dx\right)=\\ \\ \\= x\log(x^2+3)-2x+6\int\frac{1}{x^2+3}dx=(\bullet)

    Ci rimane solo un integrale da risolvere e può essere affrontato riconducendoci all'integrale notevole il cui risultato è un'arcotangente

    \int\frac{h'(x)}{1+[h(x)]^2}dx=\arctan(h(x))+c

    Affinché l'integrale si possa scrivere in questa forma, mettiamo in evidenza il 3 al denominatore, dopodiché facciamo intervenire le proprietà delle potenze

    \\ (\bullet)=x\log(x^2+3)-2x+6\int\frac{1}{3\left(\frac{x^2}{3}+1\right)}dx= \\ \\ \\ =x\log(x^2+3)-2x+\frac{6}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dx=

    Sottolineiamo che nell'ultimo passaggio abbiamo espresso 3=(\sqrt{3})^2 e in un secondo momento abbiamo usato la proprietà del quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente.

    Non ci siamo ancora ricondotti all'integrale fondamentale, manca la derivata di \frac{x}{\sqrt{3}} al numeratore dell'integranda: poco male, è sufficiente moltiplicare e dividere per \frac{1}{\sqrt{3}}

    \\ =x\log(x^2+3)-2x+2\sqrt{3}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dx= \\ \\ \\ = x\log(x^2+3)-2x+2\sqrt{3}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c

    L'esercizio è concluso.

    Osservazione: se le manipolazioni algebriche sono fuori portata allora possiamo risolvere l'integrale

    \int\frac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2+1}dx=(\bullet)

    con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo

    t=\frac{x}{\sqrt{3}}\implies dt=\frac{1}{\sqrt{3}}dx\implies dx=\sqrt{3}dt

    e grazie alle sostituzioni il precedente integrale diventa

    \\ (\bullet)=\int\frac{\sqrt{3}}{t^2+1}dt=\\ \\ \\= \sqrt{3}\int\frac{1}{t^2+1}dt=\\ \\ \\ =\sqrt{3}\arctan(t)+c=

    ma t=\frac{x}{\sqrt{3}} conseguentemente

    =\sqrt{3}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c

    e abbiamo finito.

    Ok, abbiamo presentato più strade risolutive per quanto concerne l'esercizio in sé e per sé, ma non abbiamo ancora detto nulla sulla legittimità della sostituzione x^2=t.

    In generale dobbiamo richiedere che la funzione che definisce la sostituzione sia invertibile affinché la sostituzione sia corretta. Purtroppo y=x^2 è solo localmente invertibile (è invertibile per x\le 0 oppure per x\ge 0).

    Risposta di Ifrit
 
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