Integrale di un logaritmo per parti

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Ho l'integrale di un logaritmo che ho provato a calcolare per parti: potreste spiegarmi come risolverlo con l'integrazione per parti?

 

∫log(x^2+3)dx

 

Inoltre ho ancora un piccolo dubbio sull'integrazione per sostituzione. È possibile operare la sostituzione per variabili al quadrato? Ad esempio x^2 = t? Non ne sono sicuro per l'esistenza di due soluzioni.

Domanda di Brizio92

 
Soluzioni

  • L'integrale indefinito

    ∫log(x^2+3)dx

    si risolve con il metodo di integrazione per parti, ossia utilizzando la formula

    ∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-∫ f'(x)g(x)dx

    dove f(x) è il fattore finito, facile da derivare, mentre g'(x) è il fattore differenziale, facile da integrare.

    In questo caso è conveniente scegliere la funzione logaritmica come fattore finito, e la funzione costante y = 1 come fattore differenziale.

    f(x) = log(x^2+3) ⇒ f'(x) = (2x)/(x^2+3) ; g'(x) = 1 ⇒ g(x) = x

    Osserviamo che la derivata di f(x) si ottiene utilizzando la regola di derivazione della funzione composta.

    Usiamo la formula di integrazione

    ∫log(x^2+3)dx = xlog(x^2+3)-∫(2x^2)/(x^2+3)dx = ; ; = xlog(x^2+3)-2∫(x^2)/(x^2+3)dx =

    e al numeratore dell'integrale rimasto sommiamo e sottraiamo 3, dopodiché eseguiamo dei passaggi algebrici il cui compito è quello di semplificare i conti 

    = xlog(x^2+3)-2∫(x^2+3-3)/(x^2+3)dx = xlog(x^2+3)-2(∫(x^2+3)/(x^2+3)dx-∫(3)/(x^2+3)dx) = xlog(x^2+3)-2(∫ dx-∫(3)/(x^2+3)dx) = xlog(x^2+3)-2x+6∫(1)/(x^2+3)dx = (•)

    Ci rimane solo un integrale da risolvere e può essere affrontato riconducendoci all'integrale notevole il cui risultato è un'arcotangente

    ∫(h'(x))/(1+[h(x)]^2)dx = arctan(h(x))+c

    Affinché l'integrale si possa scrivere in questa forma, mettiamo in evidenza il 3 al denominatore, dopodiché facciamo intervenire le proprietà delle potenze

    (•) = xlog(x^2+3)-2x+6∫(1)/(3((x^2)/(3)+1))dx = xlog(x^2+3)-2x+(6)/(3)∫(1)/(((x)/(√(3)))^2+1)dx =

    Sottolineiamo che nell'ultimo passaggio abbiamo espresso 3 = (√(3))^2 e in un secondo momento abbiamo usato la proprietà del quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente.

    Non ci siamo ancora ricondotti all'integrale fondamentale, manca la derivata di (x)/(√(3)) al numeratore dell'integranda: poco male, è sufficiente moltiplicare e dividere per (1)/(√(3))

    = xlog(x^2+3)-2x+2√(3)∫((1)/(√(3)))/(((x)/(√(3)))^2+1)dx = xlog(x^2+3)-2x+2√(3)arctan((x)/(√(3)))+c

    L'esercizio è concluso.

    Osservazione: se le manipolazioni algebriche sono fuori portata allora possiamo risolvere l'integrale

    ∫(1)/(((x)/(√(3)))^2+1)dx = (•)

    con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo

    t = (x)/(√(3)) ⇒ dt = (1)/(√(3))dx ⇒ dx = √(3)dt

    e grazie alle sostituzioni il precedente integrale diventa

    (•) = ∫(√(3))/(t^2+1)dt = √(3)∫(1)/(t^2+1)dt = √(3)arctan(t)+c =

    ma t = (x)/(√(3)) conseguentemente

    = √(3)arctan((x)/(√(3)))+c

    e abbiamo finito.

    Ok, abbiamo presentato più strade risolutive per quanto concerne l'esercizio in sé e per sé, ma non abbiamo ancora detto nulla sulla legittimità della sostituzione x^2 = t.

    In generale dobbiamo richiedere che la funzione che definisce la sostituzione sia invertibile affinché la sostituzione sia corretta. Purtroppo y = x^2 è solo localmente invertibile (è invertibile per x ≤ 0 oppure per x ≥ 0).

    Risposta di Ifrit
 
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