si risolve con il metodo di integrazione per parti, ossia utilizzando la formula
dove
è il fattore finito, facile da derivare, mentre
è il fattore differenziale, facile da integrare.
In questo caso è conveniente scegliere la funzione logaritmica come fattore finito, e la funzione costante
come fattore differenziale.
Osserviamo che la derivata di
si ottiene utilizzando la regola di derivazione della funzione composta.
Usiamo la formula di integrazione
e al numeratore dell'integrale rimasto sommiamo e sottraiamo
, dopodiché eseguiamo dei passaggi algebrici il cui compito è quello di semplificare i conti
Ci rimane solo un integrale da risolvere e può essere affrontato riconducendoci all'integrale notevole il cui risultato è un'arcotangente
Affinché l'integrale si possa scrivere in questa forma, mettiamo in evidenza il
al denominatore, dopodiché facciamo intervenire le proprietà delle potenze
Sottolineiamo che nell'ultimo passaggio abbiamo espresso
e in un secondo momento abbiamo usato la proprietà del quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente.
Non ci siamo ancora ricondotti all'integrale fondamentale, manca la derivata di
al numeratore dell'integranda: poco male, è sufficiente moltiplicare e dividere per
L'esercizio è concluso.
Osservazione: se le manipolazioni algebriche sono fuori portata allora possiamo risolvere l'integrale
con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo
e grazie alle sostituzioni il precedente integrale diventa
ma
conseguentemente
e abbiamo finito.
Ok, abbiamo presentato più strade risolutive per quanto concerne l'esercizio in sé e per sé, ma non abbiamo ancora detto nulla sulla legittimità della sostituzione
.
In generale dobbiamo richiedere che la funzione che definisce la sostituzione sia invertibile affinché la sostituzione sia corretta. Purtroppo
è solo localmente invertibile (è invertibile per
oppure per
).
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