Soluzioni
  • Determinare l'equazione del piano contenente una retta e un punto è una tra le più classiche richieste degli esercizi di Algebra Lineare e Geometria dello Spazio, e per fortuna è anche una tra le più semplici. Serve solo la giusta attenzione nello svolgimento dei calcoli.

    Siano Oxyz un riferimento cartesiano ortogonale, P(x_P,y_P,z_P) un punto e r una retta dello spazio.

    Per trovare l'equazione del piano π contenente la retta r e il punto P basta seguire alcuni semplici passaggi.

    1) Calcolare un vettore v_r di parametri direttori della retta r.

    A tal proposito ricordiamo che se r è in forma parametrica

    r: x = x_0+lt ; y = y_0+mt ; z = z_0+nt con t∈ R

    allora possiamo considerare come vettore direzione

    v_r = (l,m,n)

    Se invece r è in forma cartesiana

    r: a_1x+b_1y+c_1z+d_1 = 0 ; a_2x+b_2y+c_2z+d_2 = 0

    possiamo ricavare un vettore direzione come prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che la definiscono:

    v_r = (l,m,n) = (a_1, b_1, c_1)×(a_2, b_2, c_2)

    2) Trovare le coordinate cartesiane di un punto Q(x_Q, y_Q, z_Q) della retta r.

    3) Calcolare un vettore direzione w della retta che passa per i punti P e Q.

    Uno di questi possibili vettori è

    w = overrightarrowPQ = Q-P = (x_Q-x_P, y_Q-y_P, z_Q-z_P)

    4) Calcolare il prodotto vettoriale tra v_r e w

    n = v_r×w

    5) Scrivere l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi

    π: ax+by+cz+d = 0

    e sostituire nell'ordine i coefficienti a, b, c delle incognite con le componenti del vettore n.

    Ricordiamo infatti che, in un piano di equazione cartesiana

    ax+by+cz+d = 0

    il vettore (a,b,c) individua la direzione perpendicolare al piano.

    Per definizione di prodotto vettoriale, il vettore n = v_r×w è ortogonale al piano che contiene la retta r e la retta passante per P,Q.

    In particolare, è ortogonale al piano che contiene la retta r e il punto P.

    n è quindi un vettore di coefficienti direttori del piano π che stiamo cercando.

    6) Determinare il coefficiente d imponendo il passaggio del piano π per il punto P(x_P,y_P,z_P).

    Per farlo è sufficiente sostituire le coordinate cartesiane di P nell'equazione del piano π, e risolvere l'equazione di primo grado nell'incognita d che ne scaturisce.

    7) L'ultima cosa da fare è sostituire il valore di d nell'equazione di π.

    Esempio sul calcolo dell'equazione del piano contenente un punto e una retta

    Risolviamo il problema proposto, che chiede di calcolare l'equazione del piano π che contiene il punto P(1,0,2) e la retta

    r: x+y-2 = 0 ; y-2z+3 = 0

    Svolgimento: per prima cosa calcoliamo il vettore v_r dei parametri direttori della retta r.

    Poiché r è data in forma cartesiana, un suo vettore direzione è dato dal prodotto vettoriale tra i vettori del coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta

    v_r = (1,1,0)×(0,1,-2) = (-2,2,1)

    Troviamo poi le coordinate cartesiane di un punto Q che appartiene a r. Nell'equazione cartesiana della retta sostituiamo ad esempio x = 1 e risolviamo il relativo sistema lineare:

    x = 1 ; x+y-2 = 0 ; y-2z+3 = 0 → x = 1 ; y = 1 ; z = 2

    Di conseguenza un punto della retta r è Q(1,1,2).

    Determiniamo le componenti del vettore w = overrightarrowPQ

     w = overrightarrowPQ = Q-P = (x_Q-x_P, y_Q-y_P, z_Q-z_P) = (1-1, 1-0, 2-2) = (0,1,0)

    e calcoliamo il prodotto vettoriale tra v_r e w

    v_r×w = (-2,2,1)×(0,1,0) = (-1,0,-2)

    Possiamo allora considerare come vettore dei coefficienti direttori del piano π

    n = v_r×w = (-1,0,-2)

    per cui

    π: -x-2z+d = 0

    Imponiamo il passaggio di π per il punto P sostituendo le coordinate cartesiane di P(1,0,2) nell'equazione del piano

    P ∈ π ⇔ -1-2·2+d = 0 ⇔ d = 5

    Abbiamo trovato il valore di d, e possiamo concludere che il piano π passante per il punto P e la retta r è

    π: -x-2z+5 = 0

    Per essere sicuro che il risultato è corretto puoi studiare la posizione reciproca tra il piano e la retta e verificare che, effettivamente, la retta r giace sul piano π.

    ***

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    Risposta di Galois
 
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