Equazione del piano contenente una retta e un punto

Determinare l'equazione del piano contenente una retta e un punto è una tra le più classiche richieste degli esercizi di Algebra Lineare e Geometria dello Spazio, e per fortuna è anche una tra le più semplici. Serve solo la giusta attenzione nello svolgimento dei calcoli.

Siano un riferimento cartesiano ortogonale, un punto e una retta dello spazio.

Per trovare l'equazione del piano contenente la retta e il punto basta seguire alcuni semplici passaggi.

1) Calcolare un vettore di parametri direttori della retta .

A tal proposito ricordiamo che se è in forma parametrica

allora possiamo considerare come vettore direzione

Se invece è in forma cartesiana

possiamo ricavare un vettore direzione come prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che la definiscono:

2) Trovare le coordinate cartesiane di un punto della retta .

3) Calcolare un vettore direzione della retta che passa per i punti e .

Uno di questi possibili vettori è

4) Calcolare il prodotto vettoriale tra e

5) Scrivere l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi

e sostituire nell'ordine i coefficienti delle incognite con le componenti del vettore .

Ricordiamo infatti che, in un piano di equazione cartesiana

il vettore individua la direzione perpendicolare al piano.

Per definizione di prodotto vettoriale, il vettore è ortogonale al piano che contiene la retta e la retta passante per .

In particolare, è ortogonale al piano che contiene la retta e il punto .

è quindi un vettore di coefficienti direttori del piano che stiamo cercando.

6) Determinare il coefficiente imponendo il passaggio del piano per il punto .

Per farlo è sufficiente sostituire le coordinate cartesiane di nell'equazione del piano , e risolvere l'equazione di primo grado nell'incognita che ne scaturisce.

7) L'ultima cosa da fare è sostituire il valore di nell'equazione di .

Esempio sul calcolo dell'equazione del piano contenente un punto e una retta

Risolviamo il problema proposto, che chiede di calcolare l'equazione del piano che contiene il punto e la retta

Svolgimento: per prima cosa calcoliamo il vettore dei parametri direttori della retta .

Poiché è data in forma cartesiana, un suo vettore direzione è dato dal prodotto vettoriale tra i vettori del coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta

Troviamo poi le coordinate cartesiane di un punto che appartiene a . Nell'equazione cartesiana della retta sostituiamo ad esempio e risolviamo il relativo sistema lineare:

Di conseguenza un punto della retta è .

Determiniamo le componenti del vettore

e calcoliamo il prodotto vettoriale tra e

Possiamo allora considerare come vettore dei coefficienti direttori del piano

per cui

Imponiamo il passaggio di per il punto sostituendo le coordinate cartesiane di nell'equazione del piano

Abbiamo trovato il valore di , e possiamo concludere che il piano passante per il punto e la retta è

Per essere sicuro che il risultato è corretto puoi studiare la posizione reciproca tra il piano e la retta e verificare che, effettivamente, la retta giace sul piano .

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