Determinare l'equazione del piano contenente una retta e un punto è una tra le più classiche richieste degli esercizi di Algebra Lineare e Geometria dello Spazio, e per fortuna è anche una tra le più semplici. Serve solo la giusta attenzione nello svolgimento dei calcoli.
Siano
un riferimento cartesiano ortogonale,
un punto e
una retta dello spazio.
Per trovare l'equazione del piano
contenente la retta
e il punto
basta seguire alcuni semplici passaggi.
1) Calcolare un vettore
di parametri direttori della retta
.
A tal proposito ricordiamo che se
è in forma parametrica
allora possiamo considerare come vettore direzione
Se invece
è in forma cartesiana
possiamo ricavare un vettore direzione come prodotto vettoriale tra i vettori dei coefficienti direttori dei piani che la definiscono:
2) Trovare le coordinate cartesiane di un punto
della retta
.
3) Calcolare un vettore direzione
della retta che passa per i punti
e
.
Uno di questi possibili vettori è
4) Calcolare il prodotto vettoriale tra
e
5) Scrivere l'equazione cartesiana di un piano qualsiasi
e sostituire nell'ordine i coefficienti
delle incognite con le componenti del vettore
.
Ricordiamo infatti che, in un piano di equazione cartesiana
il vettore
individua la direzione perpendicolare al piano.
Per definizione di prodotto vettoriale, il vettore
è ortogonale al piano che contiene la retta
e la retta passante per
.
In particolare, è ortogonale al piano che contiene la retta
e il punto
.
è quindi un vettore di coefficienti direttori del piano
che stiamo cercando.
6) Determinare il coefficiente
imponendo il passaggio del piano
per il punto
.
Per farlo è sufficiente sostituire le coordinate cartesiane di
nell'equazione del piano
, e risolvere l'equazione di primo grado nell'incognita
che ne scaturisce.
7) L'ultima cosa da fare è sostituire il valore di
nell'equazione di
.
Esempio sul calcolo dell'equazione del piano contenente un punto e una retta
Risolviamo il problema proposto, che chiede di calcolare l'equazione del piano
che contiene il punto
e la retta
Svolgimento: per prima cosa calcoliamo il vettore
dei parametri direttori della retta
.
Poiché
è data in forma cartesiana, un suo vettore direzione è dato dal prodotto vettoriale tra i vettori del coefficienti direttori dei piani che definiscono la retta
Troviamo poi le coordinate cartesiane di un punto
che appartiene a
. Nell'equazione cartesiana della retta sostituiamo ad esempio
e risolviamo il relativo sistema lineare:
Di conseguenza un punto della retta
è
.
Determiniamo le componenti del vettore
e calcoliamo il prodotto vettoriale tra
e
Possiamo allora considerare come vettore dei coefficienti direttori del piano
per cui
Imponiamo il passaggio di
per il punto
sostituendo le coordinate cartesiane di
nell'equazione del piano
Abbiamo trovato il valore di
, e possiamo concludere che il piano
passante per il punto
e la retta
è
Per essere sicuro che il risultato è corretto puoi studiare la posizione reciproca tra il piano e la retta e verificare che, effettivamente, la retta
giace sul piano
.
***
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