esercizio su matrice diagonalizzabile

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come posso fare per vedere se questa matrice è diagonalizzabile?

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magari possiamo vedere i conti insieme, cosi capisco meglio. grazie

Domanda di lolloviola

 
Soluzioni

  • Eccomi, ciao lolloviola il tempo di rispondere e arrivo! ;)

    Risposta di Ifrit

  • A = [3 0 0 ; 4 5 2 ; 0 2 5]

    •Il primo passo da compiere è costruire la matrice:

    A-λ I = [3-λ 0 0 ; 4 5-λ 2 ; 0 2 5-λ]

    •Nel calcoliamo il determinante (consiglio di sviluppare il determinate per la prima riga, si risparmiano conti):

    p(λ) = det(A-λ I) = (7-λ) (λ-3)^2

    detto polinomio caratteristico

    • Costruiamo l'equazione caratteristica, imponendo che il polinomio caratteristico sia nullo.

    p(λ) = (7-λ)(λ-3)^2 = 0

    le radici sono:

    λ_1 = 7, qquad qquad m_a(7) = 1 

    λ_2 = 3, qquad qquad m_a(3) = 2

    dove con m_a indico la molteplicità algebrica degli autovalori.

    • Studio delle molteplicità

    Poiché:

    1 ≤ m_g ≤ m_a

    allora segue che:

    m_g(7) = 1.

    Dobbiamo trovare la molteplicità geometrica dell'autovalore λ_2 = 3 e dobbiamo pretendere che sia uguale alla sua molteplicità algebrica.

    • Calcolo della molteplicità geometrica: prendiamo almbda = 3 e sostituiamo nella espressione:

    A-λ I = [3-3 0 0 ; 4 5-3 2 ; 0 2 5-3]

    = [0 0 0 ; 4 2 2 ; 0 2 2]

    Il rango di questa matrice è:

    rank(A-3 I) = 2

    La molteplicità geometrica è quindi:

    m_g(3) = 3-rank(A-3 I) = 3-2 = 1 

    la molteplicità algebrica di 3 non coincide con la sua molteplicità geometrica, possiamo concludere che la matrice non è diagonalizzabile. 

     

    Controlla tutto per piacere, ho fatto molto in fretta! :)

    Risposta di Ifrit
 
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