Soluzioni
  • Eccomi, ciao lolloviola il tempo di rispondere e arrivo! ;)

    Risposta di Ifrit
  • A=\begin{pmatrix}3&0&0\\ 4&5&2\\ 0&2&5\end{pmatrix}

    •Il primo passo da compiere è costruire la matrice:

    A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda&0&0\\ 4&5-\lambda&2\\ 0&2&5-\lambda\end{pmatrix}

    •Nel calcoliamo il determinante (consiglio di sviluppare il determinate per la prima riga, si risparmiano conti):

    p(\lambda)= \det(A-\lambda I)= (7-\lambda) (\lambda-3)^2

    detto polinomio caratteristico

    • Costruiamo l'equazione caratteristica, imponendo che il polinomio caratteristico sia nullo.

    p(\lambda)= (7-\lambda)(\lambda-3)^2=0

    le radici sono:

    \lambda_1= 7,\qquad\qquad m_a(7)=1 

    \lambda_2=3, \qquad\qquad m_a(3)=2

    dove con m_a indico la molteplicità algebrica degli autovalori.

    • Studio delle molteplicità

    Poiché:

    1\le m_g\le m_a

    allora segue che:

    m_g(7)=1.

    Dobbiamo trovare la molteplicità geometrica dell'autovalore \lambda_2=3 e dobbiamo pretendere che sia uguale alla sua molteplicità algebrica.

    • Calcolo della molteplicità geometrica: prendiamo \almbda= 3 e sostituiamo nella espressione:

    A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-3&0&0\\ 4&5-3&2\\ 0&2&5-3\end{pmatrix}

    =\begin{pmatrix}0&0&0\\ 4&2&2\\ 0&2&2\end{pmatrix}

    Il rango di questa matrice è:

    \mbox{rank}(A-3 I)=2

    La molteplicità geometrica è quindi:

    m_g(3)= 3-\mbox{rank}(A-3 I)= 3-2=1 

    la molteplicità algebrica di 3 non coincide con la sua molteplicità geometrica, possiamo concludere che la matrice non è diagonalizzabile. 

     

    Controlla tutto per piacere, ho fatto molto in fretta! :)

    Risposta di Ifrit
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