Soluzioni
  • Eccomi! Arrivo, scusaci per il ritardo, ma oggi è una giornata di fuoco! :P

    Risposta di Ifrit
  • \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\beta)+\cos(\alpha)}

    Formule di addizione e sottrazione del seno:

    \sin(\alpha+\beta)= \sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)

    \sin(\alpha-\beta)= \sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)

    Il prodotto pertanto è:

    \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=

    (\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta))(\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta))=

    \sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)-\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)

    Nota infatti che hai una somma per differenza.

    Ora un piccolo trucco, aggiungiamo e sottraiamo \cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)

    \sin^2(\alpha)\cos^2(\beta)+\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)-\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta)-\cos^2(\alpha)\sin^2(\beta)=

    Mettiamo in evidenza:

    \cos^2(\beta)[\sin^2(\alpha)+\cos^2(\beta)]-\cos^2(\alpha) [\cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)]

    Relazione fondamentale della trigonometria:

    \sin^2(\alpha)+\cos^2(\beta)=1

    Quindi il precedente si riduce a:

    \cos^2(\beta)-\cos^2(\alpha)=[ \cos(\beta)-\cos(\alpha)][\cos(\beta)+\cos(\alpha)]

    L'espressione originale si riduce quindi a:

    \frac{[ \cos(\beta)-\cos(\alpha)][\cos(\beta)+\cos(\alpha)]}{\cos(\beta)+\cos(\alpha)}

    Semplifica il semplificabile:

    e ti rimane:

    \cos(\beta)-\cos(\alpha)

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra