Espressione goniometrica con somma di archi

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Buongiorno mi aiutate a usare le formule di somma e differenza degli archi per semplificare un'espressione trigonometrica? Sarebbe questa:

 

[sen(α+β)·sen(α-β)] / [cosβ+cosα]

Il risultato che mi suggerisce il libro è [cosβ-cosα]. Grazie mille in anticipo!

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Eccomi! Arrivo, scusaci per il ritardo, ma oggi è una giornata di fuoco! :P

    Risposta di Ifrit

  • (sin(α+β)sin(α-β))/(cos(β)+cos(α))

    Formule di addizione e sottrazione del seno:

    sin(α+β) = sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

    sin(α-β) = sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    Il prodotto pertanto è:

    sin(α+β)sin(α-β) =

    (sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β))(sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)) =

    sin^2(α)cos^2(β)-cos^2(α)sin^2(β)

    Nota infatti che hai una somma per differenza.

    Ora un piccolo trucco, aggiungiamo e sottraiamo cos^2(α)cos^2(β)

    sin^2(α)cos^2(β)+cos^2(α)cos^2(β)-cos^2(α)cos^2(β)-cos^2(α)sin^2(β) =

    Mettiamo in evidenza:

    cos^2(β)[sin^2(α)+cos^2(β)]-cos^2(α) [cos^2(β)+sin^2(β)]

    Relazione fondamentale della trigonometria:

    sin^2(α)+cos^2(β) = 1

    Quindi il precedente si riduce a:

    cos^2(β)-cos^2(α) = [ cos(β)-cos(α)][cos(β)+cos(α)]

    L'espressione originale si riduce quindi a:

    ([ cos(β)-cos(α)][cos(β)+cos(α)])/(cos(β)+cos(α))

    Semplifica il semplificabile:

    e ti rimane:

    cos(β)-cos(α)

    Risposta di Ifrit
 
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