Soluzioni
  • Eccomi ciao michela93 il tempo di ragionarci e arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Inutile (?) dire che ci serviranno alcune delle formule goniometriche. L'espressione è:

    \frac{\tan(\pi/4+\alpha) \tan(\pi/4-\alpha)-1}{\tan(\alpha+\pi/4)+\tan(3/4 \pi+\alpha)}

    Concentriamoci al numeratore:

    \tan(\pi/4+\alpha)= \frac{\sin(\pi/4+\alpha)}{\cos(\pi/4+\alpha)}

    Utilizziamo le formule di addizione degli angoli per funzioni trigonometriche:

    \sin(\pi/4+\alpha)=\sin(\pi/4)\cos(\alpha)+\cos(\pi/4)\cos(\alpha)=

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\alpha)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\alpha)=

    = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(\alpha)+\sin(\alpha))

    Mentre 

    \cos(\pi/4+\alpha)= \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(\alpha)-\sin(\alpha))

    sempre le formule di addizione del coseno.

    Pertanto:

    \tan(\pi/4+\alpha)= \frac{\cos(\alpha)+\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)-\sin(\alpha)}

    Consideriamo l'altro fattore:

    \tan(\pi/4-\alpha)=\frac{\sin(\pi/4-\alpha)}{\cos(\pi/4-\alpha)}

    Per le formule di sottrazione del seno e del coseno abbiamo che:

    \sin(\pi/4-\alpha)= \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(x)-\sin(x))

    \cos(\pi/4-\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(x)+\sin(x))

    Pertanto:

    \tan(\pi/4-\alpha)=\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}

    Come conseguenza immediata, il prodotto:

    \tan(\pi/4+\alpha) \tan(\pi/4-\alpha)=\frac{(\cos(\alpha)+\sin(\alpha))}{(\cos(\alpha)-\sin(\alpha))}\frac{(\cos(x)-\sin(x))}{(\sin(x)+\cos(x))}=1

    Dunque il numeratore si riduce a 1-1=0

    L'intera espressione si annulla. ;)

    \frac{\tan(\pi/4+\alpha) \tan(\pi/4-\alpha)-1}{\tan(\alpha+\pi/4)+\tan(3/4 \pi+\alpha)}=0

    Risposta di Ifrit
 
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