Soluzioni
  • Eccomi jumpy, dammi un po' di tempo e arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Prima di procedere, dammi conferma... E' per caso questa?

    \left[\frac{\cos^2(90^o+x)-\sin^2(90^o-x)}{\cot(180^o-x)-1}\right]=\sin^2(180^o+x) (\tan(90^o-x)-1)\right]

    Risposta di Ifrit
  • si

    Risposta di Jumpy
  • Ok, inizio

    \left[\frac{\cos^2(90^o+x)-\sin^2(90^o-x)}{\cot(180^o-x)-1}\right]=\sin^2(180^o+x) (\tan(90^o-x)-1)\right]

    Per le relazioni trigonometriche sugli archi associati abbiamo che:

    \cos^2(90^o+x)= \sin^2(x)

    \sin^2(90^o-x)= \cos^2(x)

    \cot(180^o-x)= -\cot(x)

    Mentre:

    \sin^2(180^o+x)= \sin^2(x)

    \tan(90^o-x)= \cot(x)

    Sostituendo nella espressione:

    \frac{\sin^2(x)-\cos^2(x)}{-\cot(x)-1}= \sin^2(x)(\cot(x)-1)

    Osserva ora che:

    \sin^2(x)-\cos^2(x)= (\sin(x)+\cos(x))(\sin(x)-\cos(x))

    Inoltre:

    \cot(x)= \frac{cos(x)}{\sin(x)}

    Andando a sostituire:

    \frac{(\sin(x)+\cos(x))(\sin(x)-\cos(x))}{-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-1}= \sin^2(x)(\cot(x)-1)

    Facciamo il minimo comune multiplo al denominatore:

     -\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-1= \frac{-\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)}

    Sostituiamo:

    \frac{(\sin(x)+\cos(x))(\sin(x)-\cos(x))}{-\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sin(x)}}= \sin^2(x)(\cot(x)-1)

     

    Semplifichiamo il semplificabile:

    \frac{(\sin(x)-\cos(x))}{-\frac{1}{\sin(x)}}= \sin^2(x)(\cot(x)-1)

    -\sin^2(x)+\sin(x)\cos(x)=\sin^2(x)\left(\frac{cos(x)}{\sin(x)}-1\right)

    -\sin^2(x)+\sin(x)\cos(x)= \sin^2(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-\sin^2(x)

    Semplifichiamo al secondo membro:

    -\sin^2(x)+\sin(x)\cos(x)= \sin(x)\cos(x)-\sin^2(x)

    Che è appunto una uguaglianza! :D

    Risposta di Ifrit
 
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