Soluzioni
  • La derivata del quoziente di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore non derivato e la derivata del denominatore, tutto fratto il quadrato del denominatore.

    Consideriamo due funzioni derivabili f(x) e g(x). La derivata del loro quoziente (f(x))/(g(x)) è data da

    (d)/(dx)[(f(x))/(g(x))] = (f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/((g(x))^2)

    Esempio di calcolo della derivata di un quoziente

    A titolo di esempio calcoliamo la derivata della seguente funzione quoziente

    y = (x^3)/(log(x))

    Applichiamo la formula

    y'= ((d)/(dx)[x^3]·log(x)-x^3·(d)/(dx)[log(x)])/((log(x))^2)

    e calcoliamo separatamente le derivate a numeratore.

    La derivata di x^3 si calcola con la regola per la derivata di una potenza, ed è uguale a 3x2

    (d)/(dx)[x^3] = 3x^2

    L'altra è la derivata del logaritmo, che dovremmo conoscere

    (d)/(dx)[log(x)] = (1)/(x)

    Ricomponiamo il tutto e abbiamo finito

     y'= (3x^2·log(x)-x^3·(1)/(x))/(log^2(x)) = (3x^2log(x)-x^2)/(log^2(x))

    Dimostrazione della formula per la derivata del quoziente

    Siano f e g due funzioni derivabili in x, con g(x) ≠ 0. Vogliamo dimostrare che la derivata della funzione quoziente (f(x))/(g(x)) è la seguente

    (d)/(dx)[(f(x))/(g(x))] = (f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/((g(x))^2)

    Per farlo usiamo definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, dunque scriviamo il rapporto incrementale della funzione quoziente in x

    ((f(x+h))/(g(x+h))-(f(x))/(g(x)))/(h)

    e calcoliamone il limite per h che tende a zero.

    (d)/(dx)[(f(x))/(g(x))] = lim_(h → 0)((f(x+h))/(g(x+h))-(f(x))/(g(x)))/(h) =

    Nel numeratore del limite calcoliamo il denominatore comune

    = lim_(h → 0)((f(x+h)·g(x)-f(x)·g(x+h))/(g(x)·g(x+h)))/(h) =

    e per com'è definita una frazione di frazione:

    = lim_(h → 0)(f(x+h)·g(x)-f(x)·g(x+h))/(g(x)·g(x+h)·h) =

    Sottraiamo e sommiamo f(x)·g(x) a numeratore

    = lim_(h → 0)(f(x+h)·g(x)-f(x)·g(x)+f(x)·g(x)-f(x)·g(x+h))/(g(x)·g(x+h)·h) =

    Sempre a numeratore, raccogliamo a fattor comune g(x) nei primi due termini e -f(x) negli ultimi due

    = lim_(h → 0)(g(x) [f(x+h)-f(x)]-f(x) [g(x+h)-g(x)])/(g(x)·g(x+h)·h) =

    In accordo con le regole sull'Algebra dei limiti spezziamo il limite nella differenza di due limiti

    = lim_(h → 0)(g(x) [f(x+h)-f(x)])/(g(x)·g(x+h)·h)-lim_(h → 0) (f(x) [g(x+h)-g(x)])/(g(x)·g(x+h)·h) = (☆)

    A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente; partiamo dal primo.

    • lim_(h → 0)(g(x) [f(x+h)-f(x)])/(g(x)·g(x+h)·h) =

    semplifichiamo g(x)

    = lim_(h → 0)(f(x+h)-f(x))/(g(x+h)·h) =

    e riscriviamolo nel modo seguente

    = lim_(h → 0) [(f(x+h)-f(x))/(h)·(1)/(g(x+h))] =

    il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    = lim_(h → 0) (f(x+h)-f(x))/(h)·lim_(h → 0) (1)/(g(x+h)) =

    Il primo è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di f in x, dunque è uguale a f'(x), mentre l'altro va calcolato per sostituzione ed è uguale a (1)/(g(x))

    = f'(x)·(1)/(g(x)) = (f'(x))/(g(x))

    Passiamo al secondo limite:

    • lim_(h → 0) (f(x) [g(x+h)-g(x)])/(g(x)·g(x+h)·h) =

    Portiamo f(x) e g(x) fuori dal limite (possiamo farlo perché non dipendono da h)

    = (f(x))/(g(x))·lim_(h → 0) ([g(x+h)-g(x)])/(g(x+h)·h) =

    e procediamo come in precedenza:

     = (f(x))/(g(x))·[lim_(h → 0) (g(x+h)-g(x))/(h)·lim_(h → 0) (1)/(g(x+h))] = (f(x))/(g(x))·[g'(x)·(1)/(g(x))] = (f(x)·g'(x))/((g(x))^2)

    Torniamo ora al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti:

    (☆) = (f'(x))/(g(x))-(f(x)·g'(x))/((g(x))^2) =

    Calcoliamo il denominatore comune

    = (f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/((g(x))^2)

    e ci siamo: abbiamo dimostrato la formula della derivata del quoziente

    (d)/(dx)[(f(x))/(g(x))] = (f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/((g(x))^2)

    ***

    Per concludere ti rimandiamo alla lettura della lezione sulle regole per il calcolo delle derivate. ;)

    Risposta di Galois
 
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