Derivata di un quoziente

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Come si calcola la derivata del quoziente di due funzioni? Potreste scrivere la regola per il calcolo della derivata di un quoziente, sia a parole che in formule, e mostrarmi un esempio di applicazione?

 

Mi servirebbe anche la dimostrazione della formula della derivata di un quoziente con tutti i passaggi spiegati e commentati, perché quella che c'è sul mio libro è davvero poco chiara.

Domanda di rinovanchi

 
Soluzioni

  • La derivata del quoziente di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore non derivato e la derivata del denominatore, tutto fratto il quadrato del denominatore.

    Consideriamo due funzioni derivabili f(x) e g(x). La derivata del loro quoziente \frac{f(x)}{g(x)} è data da

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Esempio di calcolo della derivata di un quoziente

    A titolo di esempio calcoliamo la derivata della seguente funzione quoziente

    y=\frac{x^3}{\log(x)}

    Applichiamo la formula

    y'=\frac{\dfrac{d}{dx}[x^3]\cdot \log(x)-x^3\cdot \dfrac{d}{dx}[\log(x)]}{(\log(x))^2}

    e calcoliamo separatamente le derivate a numeratore.

    La derivata di x^3 si calcola con la regola per la derivata di una potenza, ed è uguale a 3x2

    \frac{d}{dx}[x^3]=3x^2

    L'altra è la derivata del logaritmo, che dovremmo conoscere

    \frac{d}{dx}[\log(x)]=\frac{1}{x}

    Ricomponiamo il tutto e abbiamo finito

    \\ y'=\frac{3x^2\cdot \log(x)-x^3\cdot \dfrac{1}{x}}{\log^2(x)}= \\ \\ \\ =\frac{3x^2\log(x)-x^2}{\log^2(x)}

    Dimostrazione della formula per la derivata del quoziente

    Siano f e g due funzioni derivabili in x, con g(x) \neq 0. Vogliamo dimostrare che la derivata della funzione quoziente \frac{f(x)}{g(x)} è la seguente

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Per farlo usiamo definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, dunque scriviamo il rapporto incrementale della funzione quoziente in x

    \frac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}

    e calcoliamone il limite per h che tende a zero.

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \lim_{h \to 0}\frac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}=

    Nel numeratore del limite calcoliamo il denominatore comune

    =\lim_{h \to 0}\frac{\dfrac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h)}}{h}=

    e per com'è definita una frazione di frazione:

    =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    Sottraiamo e sommiamo f(x) \cdot g(x) a numeratore

    =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    Sempre a numeratore, raccogliamo a fattor comune g(x) nei primi due termini e -f(x) negli ultimi due

    =\lim_{h \to 0}\frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x)\right] - f(x) \left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    In accordo con le regole sull'Algebra dei limiti spezziamo il limite nella differenza di due limiti

    =\lim_{h \to 0}\frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h} = \ (\bigstar)

    A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente; partiamo dal primo.

    \bullet \ \lim_{h \to 0}\frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    semplifichiamo g(x)

    =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{g(x+h) \cdot h}=

    e riscriviamolo nel modo seguente

    =\lim_{h \to 0} \left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)}\right]=

    il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{g(x+h)}=

    Il primo è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di f in x, dunque è uguale a f'(x), mentre l'altro va calcolato per sostituzione ed è uguale a \frac{1}{g(x)}

    =f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g(x)}

    Passiamo al secondo limite:

    \bullet \ \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h} =

    Portiamo f(x) e g(x) fuori dal limite (possiamo farlo perché non dipendono da h)

    =\frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x+h) \cdot h} =

    e procediamo come in precedenza:

    \\ = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \left[\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{g(x+h)}\right]= \\ \\ \\ = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \left[g'(x) \cdot \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Torniamo ora al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti:

    (\bigstar) \ = \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}=

    Calcoliamo il denominatore comune

    =\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    e ci siamo: abbiamo dimostrato la formula della derivata del quoziente

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    ***

    Per concludere ti rimandiamo alla lettura della lezione sulle regole per il calcolo delle derivate. ;)

    Risposta di Galois
 
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