La derivata del quoziente di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore non derivato e la derivata del denominatore, tutto fratto il quadrato del denominatore.
Consideriamo due funzioni derivabili
e
. La derivata del loro quoziente
è data da
Esempio di calcolo della derivata di un quoziente
A titolo di esempio calcoliamo la derivata della seguente funzione quoziente
Applichiamo la formula
e calcoliamo separatamente le derivate a numeratore.
La derivata di x^3 si calcola con la regola per la derivata di una potenza, ed è uguale a 3x2
L'altra è la derivata del logaritmo, che dovremmo conoscere
Ricomponiamo il tutto e abbiamo finito
Dimostrazione della formula per la derivata del quoziente
Siano
e
due funzioni derivabili in
, con
. Vogliamo dimostrare che la derivata della funzione quoziente
è la seguente
Per farlo usiamo definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, dunque scriviamo il rapporto incrementale della funzione quoziente in
e calcoliamone il limite per
che tende a zero.
Nel numeratore del limite calcoliamo il denominatore comune
e per com'è definita una frazione di frazione:
Sottraiamo e sommiamo
a numeratore
Sempre a numeratore, raccogliamo a fattor comune
nei primi due termini e
negli ultimi due
In accordo con le regole sull'Algebra dei limiti spezziamo il limite nella differenza di due limiti
A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente; partiamo dal primo.
semplifichiamo
e riscriviamolo nel modo seguente
il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti
Il primo è il limite per
che tende a 0 del rapporto incrementale di
in
, dunque è uguale a
, mentre l'altro va calcolato per sostituzione ed è uguale a
Passiamo al secondo limite:
Portiamo
e
fuori dal limite (possiamo farlo perché non dipendono da
)
e procediamo come in precedenza:
Torniamo ora al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti:
Calcoliamo il denominatore comune
e ci siamo: abbiamo dimostrato la formula della derivata del quoziente
***
Per concludere ti rimandiamo alla lettura della lezione sulle regole per il calcolo delle derivate. ;)
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