Soluzioni
  • La formula per la derivata di un quoziente è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del rapporto di due funzioni, della forma y=f(x)/g(x). La formula di derivazione del quoziente è data da

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Dimostrazione della formula per la derivata del quoziente

    Per ricavare la formula di derivazione del quoziente dobbiamo dare per buona la formula per la derivata del prodotto: in questo modo possiamo considerare il quoziente come un prodotto

    \frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}=

    e quindi scrivere il reciproco della funzione g(x) come potenza con esponente negativo

    =f(x)\cdot (g(x))^{-1}

    Con queste premesse possiamo procedere al calcolo della derivata del quoziente

    \\ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{d}{dx}\left[f(x)\cdot (g(x))^{-1}\right]=\\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[f(x)]\cdot (g(x))^{-1}+f(x)\cdot\frac{d}{dx}[(g(x))^{-1}]=(\bullet)

    Per calcolare la derivata di (g(x))^{-1} usiamo il teorema per la derivata della funzione composta:

    \frac{d}{dx}[(g(x))^{-1}]=(-1)\cdot(g(x))^{-1-1}\cdot \frac{d}{dx}[g(x)]=(-1)\cdot (g(x))^2\cdot g'(x)

    Di conseguenza

    (\bullet)=f'(x)\cdot (g(x))^{-1}+f(x)\cdot (-1)\cdot (g(x))^2\cdot g'(x)=

    per cui, facendo i conti

    \\ =f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}-f(x)\cdot \frac{1}{(g(x))^2}\cdot g'(x)=\\ \\ \\ =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

    Esempio di calcolo della derivata di un quoziente

    A titolo di esercizio calcoliamo la derivata della funzione

    y=\frac{x^3}{\log(x)}

    Applichiamo la formula:

    y'=\frac{\frac{d}{dx}[x^3]\cdot \log(x)-x^3\cdot \frac{d}{dx}[\log(x)]}{(\log(x))^2}

    Calcoliamo separatamente le derivate presenti a numeratore.

    La prima derivata si calcola con la regola per la derivata di una potenza

    \frac{d}{dx}[x^3]=3x^2

    mentre la seconda è la derivata del logaritmo

    \frac{d}{dx}[\log(x)]=\frac{1}{x}

    Ricomponendo il tutto

    \\ y'=\frac{3x^2\cdot \log(x)-x^3\cdot \frac{1}{x}}{\log^2(x)}=\\ \\ \\ =\frac{3x^2\log(x)-x^2}{\log^2(x)}

    Per concludere, ti rimando alla lettura della lezione sulle regole per il calcolo delle derivate.

    Risposta di Omega
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