Esercizio su iniettività, immagine e funzione inversa
In un esercizio ho una funzione definita a tratti e devo dimostrare che è una funzione iniettiva, trovarne l'immagine e calcolarne la funzione inversa. Potreste darmi una mano spiegandomi come svolgerlo?
h(x) = cosh(x) se x< -1;
x3 se - 1 <= x <= 1
-tan(x) se 1 < x < π/2.
Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà!
Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Andiamo con ordine. Lavoriamo su
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1) Iniettività
2) Immagine
3) Inversa
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Iniettività
La prima cosa da fare e determinare il grafico della funzione, non è difficile. Basta conoscere i grafici delle funzioni elementari che definiscono la funzione a tratti (e che puoi reperire qui).
Per vedere che la funzione è iniettiva, puoi tranquillamente ricorrere al metodo grafico e vedere che su tutto l'asse delle ordinate non esiste alcuna ordinata 
tale che la retta 
intersechi due volte il grafico della funzione.
La funzione è dunque iniettiva!
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Immagine della funzione
Basta osservare che la funzione per 
la funzione assume tutti i valori compresi tra 
, dove 
.
Per ![x∈ [−1,+1]](data:image/gif;base64,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){kind=small}
la funzione assume tutti i valori compresi tra ![[−1,+1]](data:image/gif;base64,R0lGODlhPgASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tmJiYubm5szMzFBQUHR0dJ6enhYWFkBAQAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAA+ABIAAASoEAAxiLw46827V8MgiR53CEWpZmeKkeQqIYkSLPJVIBtt469RLnMbAhRATjEIiBmXOaQHKmwaL9SVtJOFXSVZ1VaZrDqH4dJ4060CCoK4fG4gljmNUIjB0A8SdhleX2kfd4FMZzmFHWsabVaEZQgDB4ZTd4M5BwkCAQwJLgUBCpcanJ6gLpGKXxcWHQSrMpquGbC2GrW5AAuWvIJuwLjAFyQUxMXFIAMRADs=){kind=small}
.
Per 
la funzione assume tutti i valori compresi tra 
dove 
.
L'immagine della funzione è dunque data da
![Im(f) = (−∞,−tan(1)) U [−1,+1] U (cosh(1),+∞)](/images/joomlatex/b/e/bec8af56ceb76a6fb90c837b53c32d57.gif)
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Inversa
Essendo la funzione iniettiva sul suo dominio, è invertibile, e per determinare la funzione inversa è sufficiente considerare le inverse delle singole funzioni che la definiscono a tratti, essendo le loro immagini disgiunte.
Namasté!
Risposta di Omega