Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Andiamo con ordine. Lavoriamo su

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    1) Iniettività

    2) Immagine

    3) Inversa

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    Iniettività

    La prima cosa da fare e determinare il grafico della funzione, non è difficile. Basta conoscere i grafici delle funzioni elementari che definiscono la funzione a tratti (e che puoi reperire qui).

    Per vedere che la funzione è iniettiva, puoi tranquillamente ricorrere al metodo grafico e vedere che su tutto l'asse delle ordinate non esiste alcuna ordinata y_0 tale che la retta y=y_0 intersechi due volte il grafico della funzione.

    La funzione è dunque iniettiva!

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    Immagine della funzione

    Basta osservare che la funzione per x\in (-\infty,-1) la funzione assume tutti i valori compresi tra (\cosh(-1),+\infty), dove \cosh{(-1)}\simeq 1,54.

    Per x\in [-1,+1] la funzione assume tutti i valori compresi tra [-1,+1].

    Per x\in (+1,\pi / 2) la funzione assume tutti i valori compresi tra (-\infty,-\tan{(1)}) dove -\tan{(1)}\simeq -1,55.

    L'immagine della funzione è dunque data da

    Im(f)=(-\infty,-\tan{(1)})\cup[-1,+1]\cup(\cosh{(1)},+\infty)

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    Inversa

    Essendo la funzione iniettiva sul suo dominio, è invertibile, e per determinare la funzione inversa è sufficiente considerare le inverse delle singole funzioni che la definiscono a tratti, essendo le loro immagini disgiunte.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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