Soluzioni
  • Per prima cosa, osserviamo che dato che la parabola stacca una corda sulla retta y=1, deve avere asse di simmetria verticale e dunque una generica equazione della forma:

    y=ax^2+bx+c 

    Ricaviamoci prima di tutto il punto per il quale la parabola passa, e dunque risolviamo il semplice sistema

    \begin{cases}2x-y+1=0\\ x=0\end{cases}

    da cui si vede facilmente che il punto è P=(0,1).

    Sostituiamone le coordinate nell'equazione della parabola e otteniamo

    c=1

    Ora passiamo a considerare la condizione sull'ordinata del vertice, che in parabole ad asse verticale si calcola come

    y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{b^2}{4a}+1

    quindi ricaviamo la condizione

    \frac{b^2}{4a}=2\ \to\ b^2=8a

    Riscriviamo la parabola nella generica forma

    y=\frac{b^2}{8}x^2+bx+1

    e sfruttiamo infine la condizione sulla corda: mettendo a sistema l'equazione della retta y=1 con l'equazione della parabola, troviamo

    1=\frac{b^2}{8}x^2+bx+1

    ossia

    \frac{b^2}{8}x^2+bx=0

    x(\frac{b^2}{8}x+b)=0

    Per cui i due punti di intersezione hanno coordinate (0,1),\left(-\frac{8}{b},1\right).

    Imponendo che la distanza tra i due punti, ovvero tra le due ascisse, sia pari a 4

    \left|\frac{8}{b}\right|=4

    ricaviamo (attenzione al valore assoluto!)

    b=\pm 2

    e quindi abbiamo due possibili parabole

    y=\frac{1}{2}x^2+2x+1,\ \ \ y=\frac{1}{2}x^2-2x+1

    Per qualsiasi dubbio, non esitare a chiedere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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