Equazione della parabola con alcune condizioni

In questo esercizio devo calcolare l'equazione di una parabola conoscendo alcune condizioni, mi dareste un aiutino?

Scrivi l'equazione della parabola che passa per il punto P di intersezione della retta 2x−y+1 = 0 con l'asse y, stacca una corda lunga 4 sulla retta y = 1 e il vertice ha ordinata uguale a -1

Grazie :)

Domanda di Panzerotta
Soluzione

Per prima cosa, osserviamo che dato che la parabola stacca una corda sulla retta y = 1, deve avere asse di simmetria verticale e dunque una generica equazione della forma:

y = ax^2+bx+c 

Ricaviamoci prima di tutto il punto per il quale la parabola passa, e dunque risolviamo il semplice sistema

2x−y+1 = 0 ; x = 0

da cui si vede facilmente che il punto è P = (0,1).

Sostituiamone le coordinate nell'equazione della parabola e otteniamo

c = 1

Ora passiamo a considerare la condizione sull'ordinata del vertice, che in parabole ad asse verticale si calcola come

y_V = −(Δ)/(4a) = −(b^2−4ac)/(4a) = −(b^2)/(4a)+1

quindi ricaviamo la condizione

(b^2)/(4a) = 2 → b^2 = 8a

Riscriviamo la parabola nella generica forma

y = (b^2)/(8)x^2+bx+1

e sfruttiamo infine la condizione sulla corda: mettendo a sistema l'equazione della retta y = 1 con l'equazione della parabola, troviamo

1 = (b^2)/(8)x^2+bx+1

ossia

(b^2)/(8)x^2+bx = 0

x((b^2)/(8)x+b) = 0

Per cui i due punti di intersezione hanno coordinate (0,1),(−(8)/(b),1).

Imponendo che la distanza tra i due punti, ovvero tra le due ascisse, sia pari a 4

|(8)/(b)| = 4

ricaviamo (attenzione al valore assoluto!)

b = ±2

e quindi abbiamo due possibili parabole

y = (1)/(2)x^2+2x+1, y = (1)/(2)x^2−2x+1

Per qualsiasi dubbio, non esitare a chiedere!

Namasté!

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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