Soluzioni
  • Per prima cosa, osserviamo che dato che la parabola stacca una corda sulla retta y = 1, deve avere asse di simmetria verticale e dunque una generica equazione della forma:

    y = ax^2+bx+c 

    Ricaviamoci prima di tutto il punto per il quale la parabola passa, e dunque risolviamo il semplice sistema

    2x-y+1 = 0 ; x = 0

    da cui si vede facilmente che il punto è P = (0,1).

    Sostituiamone le coordinate nell'equazione della parabola e otteniamo

    c = 1

    Ora passiamo a considerare la condizione sull'ordinata del vertice, che in parabole ad asse verticale si calcola come

    y_V = -(Δ)/(4a) = -(b^2-4ac)/(4a) = -(b^2)/(4a)+1

    quindi ricaviamo la condizione

    (b^2)/(4a) = 2 → b^2 = 8a

    Riscriviamo la parabola nella generica forma

    y = (b^2)/(8)x^2+bx+1

    e sfruttiamo infine la condizione sulla corda: mettendo a sistema l'equazione della retta y = 1 con l'equazione della parabola, troviamo

    1 = (b^2)/(8)x^2+bx+1

    ossia

    (b^2)/(8)x^2+bx = 0

    x((b^2)/(8)x+b) = 0

    Per cui i due punti di intersezione hanno coordinate (0,1),(-(8)/(b),1).

    Imponendo che la distanza tra i due punti, ovvero tra le due ascisse, sia pari a 4

    |(8)/(b)| = 4

    ricaviamo (attenzione al valore assoluto!)

    b = ±2

    e quindi abbiamo due possibili parabole

    y = (1)/(2)x^2+2x+1, y = (1)/(2)x^2-2x+1

    Per qualsiasi dubbio, non esitare a chiedere!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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