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  • Premetto che qui su YM c'è una lezione in cui trattiamo nel dettaglio il teorema dei valori intermedi. Ti consiglio di leggerla, prima o dopo.

    Teorema dei valori intermedi

    Parto dall'enunciato del teorema dei valori intermedi, come richiesto: sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato [a,b]. Detti

    m=\min_{x\in [a,b]}f(x)\ \mbox{ e }\ M=\max_{x\in [a,b]}f(x)

    il massimo e il minimo valore di f nell'intervallo [a,b], risulta che f assume tutti i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo.

    In altri termini, per ogni c con m\leq c\leq M esiste almeno un x_{0}\in [a,b] tale che f(x_0)=c.

    Esempi di applicazione del teorema dei valori intermedi

    1) Un esempio di applicazione del teorema dei valori intermedi potrebbe essere il seguente: stabilire se l'equazione

    e^x +x=0

    ammette una soluzione nell'intervallo [-1, 0].

    Svolgimento: notiamo che l'equazione in questione non può essere risolta elementarmente, inoltre l'esercizio non richiede di calcolare la radice ma solo di verificare la sua esistenza nell'intervallo considerato.

    Innanzitutto consideriamo la funzione

    f(x)= e^x+x

    che è somma di funzioni monotone crescenti, pertanto crescente. Inoltre la funzione è continua perché somma di funzioni continue.

    Poiché [-1, 0] è un insieme chiuso e limitato allora f ammetterà massimo e minimo assoluti (questo segue dal teorema di Weierstrass).

    In particolare dalle considerazioni relative alla monotonia è evidente che il minmo assoluto è situato in x=-1 e che il massimo assoluto è collocato in x=0

    \\ \min(f)=f(-1)=e^{-1}+(-1)= \frac{1}{e}-1<0\\ \\ \max(f)=f(0)=1>0

    Per il teorema dei valori intermedi, la funzione f assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo:

    \frac{1}{e}-1\le f(x)\le 1

    Poichè 0\in \left[\frac{1}{e}-1, 1\right] allora esisterà almeno un \hat{x}\in [-1, 0] tale che f(\hat{x})=0. Ciò equivale a dire che:

    e^{\hat{x}}+\hat{x}=0

    2) Un'altra tipologia di esercizi è ad esempio: determinare l'immagine dell'intervallo [0,1] tramite la funzione

    f(x)= x+\log(x+1)

    Svolgimento: osserviamo che

    - la funzione è continua in [0,1], perché somma di funzioni continue;

    - la funzione è monotona crescente in [0,1], perché somma di funzioni monotone crescenti.

    Per il teorema di Weierstrass la funzione ammette minimo e massimo assoluti nell'intervallo chiuso e limitato [0,1].

    Il massimo e il minimo della funzione in questione sono rispettivamente:

    \\ \min_{[0,1]}(f)= f(0)= 0+\log(1)=0\\ \\ \max_{[0, 1]}(f)= f(1)= 1+\log(2)

    Per il teorema dei valori intermedi possiamo concludere che l'immagine dell'intervallo [0,1] mediante la funzione f

    f([0,1])=[0,1+\log(2)]

    ossia l'immagine dell'intervallo è data dall'intervallo [0,1+\log(2)].

    Come ti ho già detto prima, il teorema dei valori intermedi ha molteplici applicazioni, devi capire quando utilizzarlo.

    Per sicurezza ribadisco il mio invito iniziale affinché tu legga la lezione sul teorema dei valori intermedi. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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