Limite di una funzione fratta con seno e limiti notevoli

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Dovrei calcolare un limite per x che tende ad 1 di una funzione fratta con il seno. Avevo pensato di utilizzare i limiti notevoli o le stime asintotiche ad essi associate, ma purtroppo non giungo al risultato del libro. Ecco il limite

 

\lim_{x\to 1}\frac{\sin(1-x^2)}{1-x}

 

Apprezzo ogni forma di aiuto, grazie.

Domanda di fibonacci

 
Soluzioni

  • Il limite da calcolare è

    \lim_{x\to 1}\frac{\sin(1-x^2)}{1-x}=(\bullet)

    e presenta la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Al fine di risolverla utilizzeremo la stima asintotica che si costruisce a partire dal limite notevole del seno

    \sin(f(x))\sim_{f(x)\to 0}f(x)

    Tale relazione è vera nel momento in cui l'argomento del seno tende a 0. È grazie ad essa che possiamo costruire la seguente stima

    \sin(1-x^2)\sim_{x\to 1}1-x^2

    che una volta sostituita nel limite, esso diventa

    (\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^2}{1-x}=

    Osserviamo che purtroppo non abbiamo ancora sciolto la forma indeterminata, ma siamo ad un passo dalla soluzione. È sufficiente scomporre il numeratore con la regola della differenza di quadrati

    =\lim_{x\to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{1-x}=

    semplificare in modo opportuno e procedere per sostituzione diretta

    =\lim_{x\to 1}(1+x)=1+1=2

    Il limite è risolto.

    Risposta di Ifrit
 
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