Limite di una funzione fratta con seno e limiti notevoli

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Dovrei calcolare un limite per x che tende ad 1 di una funzione fratta con il seno. Avevo pensato di utilizzare i limiti notevoli o le stime asintotiche ad essi associate, ma purtroppo non giungo al risultato del libro. Ecco il limite

 

lim_(x → 1)(sin(1-x^2))/(1-x)

 

Apprezzo ogni forma di aiuto, grazie.

Domanda di fibonacci

 
Soluzioni

  • Il limite da calcolare è

    lim_(x → 1)(sin(1-x^2))/(1-x) = (•)

    e presenta la forma indeterminata [(0)/(0)]. Al fine di risolverla utilizzeremo la stima asintotica che si costruisce a partire dal limite notevole del seno

    sin(f(x)) ~ _(f(x) → 0)f(x)

    Tale relazione è vera nel momento in cui l'argomento del seno tende a 0. È grazie ad essa che possiamo costruire la seguente stima

    sin(1-x^2) ~ _(x → 1)1-x^2

    che una volta sostituita nel limite, esso diventa

    (•) = lim_(x → 1)(1-x^2)/(1-x) =

    Osserviamo che purtroppo non abbiamo ancora sciolto la forma indeterminata, ma siamo ad un passo dalla soluzione. È sufficiente scomporre il numeratore con la regola della differenza di quadrati

    = lim_(x → 1)((1-x)(1+x))/(1-x) =

    semplificare in modo opportuno e procedere per sostituzione diretta

    = lim_(x → 1)(1+x) = 1+1 = 2

    Il limite è risolto.

    Risposta di Ifrit
 
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