Soluzioni
  • Di queste due funzioni ne abbiamo parlato dettagliatamente in questa domanda: esercizio sui grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche.

    Per trovare i punti di intersezioni dei due grafici, dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione

    f(x)=g(x)

    in cui confrontiamo le due immagini, e sostanzialmente ci chiediamo: per quali valori di ascissa le due funzioni hanno la setssa ordinata?

    L'equazione non è difficile: è un'equazione esponenziale che possiamo risolvere agilmente per sostituzione.

    2^x=2^{-x}-1

    Moltiplichiamo entrambi i membri per 2^x, ricordando che la funzione esponenziale è positiva per ogni x\in\mathbb{R}

    2^{2x}=1-2^{x}

    cioè

    2^{2x}+2^{x}-1=0

    Ora sostituiamo y=2^{x} per ricondurci ad un'equazione di secondo grado

    y^2+y-1=0

    che ha soluzioni

    y_{1,2}=\frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{5})

    Di queste due soluzioni, essendo y=2^x ed essendo la funzione esponenziale sempre positiva, dobbiamo scartare quella negativa.

    Ci rimane

    y=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})

    ossia

    2^x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})

    ossia, applicando il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri

    x=\log_{2}{\left(\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right)}

    che è l'ascissa che genera l'intersezione tra i grafici delle due funzioni.

    Per individuare l'ordinata corrispondente basta valutare una delle due funzioni nell'ascissa appena calcolata. Ci conviene usare la funzione f(x)=2^x perché tra le due è quella con l'espressione analitica più immediata

    y=2^x=2^{\log_{2}{\left(\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right)}}

    e grazie ad una nota identità che lega logaritmo ed esponenziale

    y=2^x=2^{\log_{2}{\left(\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right)}}=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})

    Namasté!

    Risposta di Omega
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