Coordinate dei punti di intersezione dei grafici

Ciao, mi spiegate come determinare le coordinate dei punti di intersezione dei grafici di due funzioni? Ad esempio come si procede con le funzioni f(x) = 2^x e g(x) = 2^(−x)−1 ?

Domanda di matol
Soluzione

Di queste due funzioni ne abbiamo parlato dettagliatamente in questa domanda: esercizio sui grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche.

Per trovare i punti di intersezioni dei due grafici, dobbiamo semplicemente risolvere l'equazione

f(x) = g(x)

in cui confrontiamo le due immagini, e sostanzialmente ci chiediamo: per quali valori di ascissa le due funzioni hanno la setssa ordinata?

L'equazione non è difficile: è un'equazione esponenziale che possiamo risolvere agilmente per sostituzione.

2^x = 2^(−x)−1

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2^x, ricordando che la funzione esponenziale è positiva per ogni x∈R

2^(2x) = 1−2^(x)

cioè

2^(2x)+2^(x)−1 = 0

Ora sostituiamo y = 2^(x) per ricondurci ad un'equazione di secondo grado

y^2+y−1 = 0

che ha soluzioni

y_(1,2) = (1)/(2)(−1±√(5))

Di queste due soluzioni, essendo y = 2^x ed essendo la funzione esponenziale sempre positiva, dobbiamo scartare quella negativa.

Ci rimane

y = (1)/(2)(−1+√(5))

ossia

2^x = (1)/(2)(−1+√(5))

ossia, applicando il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri

x = log_(2)((1)/(2)(−1+√(5)))

che è l'ascissa che genera l'intersezione tra i grafici delle due funzioni.

Per individuare l'ordinata corrispondente basta valutare una delle due funzioni nell'ascissa appena calcolata. Ci conviene usare la funzione f(x) = 2^x perché tra le due è quella con l'espressione analitica più immediata

y = 2^x = 2^(log_(2)((1)/(2)(−1+√(5))))

e grazie ad una nota identità che lega logaritmo ed esponenziale

y = 2^x = 2^(log_(2)((1)/(2)(−1+√(5)))) = (1)/(2)(−1+√(5))

Namasté!

Risposta di: Fulvio Sbranchella (Omega)
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