Serie fratta con limite del termine generale diverso da zero
Ho una serie da studiare e mi pare che il limite del termine generale NON sia zero:
Devo studiarne la convergenza: ora se ho capito bene come funziona la cosa, ho calcolato il limite per k tendente a più infinito del termine generale, e se ho fatto bene il limite, mi trovo 1.
Possibile? Cioè, per quello che ho capito la serie è convergente quando tende a 0 e divergente se tende a + infinito?
Quindi vorrei capire se ho inteso bene il ragionamento, e se puo capitare che il risultato di un limite mi venga diverso da 0 e da infinito, e come comportarmi in quei casi.
Grazie
Premessa: quando hai una serie numerica
la condizione necessaria ma non sufficiente di convergenza della serie è che il termine generale della serie converga a zero per
, ossia
Se questa condizione sussiste, hai speranza che la serie converga, ma non è detto che succeda. Se tale condizione non sussiste, allora la serie non converge.
Ora: consideriamo la serie
Attenzione che il limite del termine generale qui tende a infinito!
lo si può vedere facilmente confrontando gli infiniti generati dalla funzione
e dal fattoriale 
. (Click here!)Di conseguenza, la serie considerata non converge. Abbiamo finito
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