Insieme di definizione di una funzione complicata

Buongiorno, vi propongo un esercizio in cui devo determinare l'insieme di definizione per una funzione abbastanza difficile. Lunedì ho l'esame di Analisi e ho provato a svolgere una prova uscita a giugno 2011, da qui l'esercizio che segue.

 

Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione:

 

f(x)=\sqrt{x^2-|x|}+(|\log{(x)}|-1)^{\pi}+\arcsin{\frac{(|x|)}{1+|x|}}

 

Mi spiegate quali regole vanno applicate per piacere?

In Uni - Analisi - Domanda di fibonacci

Soluzioni

  • Ciao Fibonacci, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per determinare il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{x^2-|x|}+(|\log{(x)}|-1)^{\pi}+\arcsin{\frac{(|x|)}{1+|x|}}

    dobbiamo imporre varie condizioni di esistenza e metterle a sistema, in quanto devono valere contemporaneamente. (A proposito: del dominio di funzioni e di come si calcola, ne parliamo qui)

    La prima condizione da prendere in considerazione riguarda la radice quadrata: dobbiamo richiedere che il suo argomento sia non negativo

    x^2-|x|\geq 0

    Questa disequazione, risolta, ha soluzioni su x \in (-\infty,0)\cup(1,+\infty).

    Poi abbiamo quel misterioso termine

    (|\log{(x)}|-1)^\pi

    che riscriviamo nella seguente forma, sfruttando l'uguaglianza a=e^{\log{(a)}}

    (|\log{(x)}|-1)^\pi=e^{\log{\left[(|\log{(x)}|-1)^\pi\right]}}=e^{\pi\log{\left[|\log{(x)}|-1\right]}}

    E quindi dobbiamo richiedere che gli argomenti dei due logaritmi siano positivi:

    |\log{(x)}|-1> 0

    e

    x>0

    La prima delle due, in particolare, ha soluzioni

    x\in\left(-\infty,\frac{1}{e}\right)\cup\left(e,+\infty\right).

    Infine abbiamo un arcoseno e dunque dobbiamo richiedere che valvano le due condizioni

    \frac{|x|}{|x|+1}\leq 1

    \frac{|x|}{|x|+1}\geq -1

    che però hanno soluzioni per ogni x\in\mathbb{R}.

    In definitiva, mettendo a sistema le condizioni trovate, deduciamo che la funzione ha dominio dato da

    Dom(f)=(e,+\infty)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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