Insieme di definizione di una funzione complicata

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Buongiorno, vi propongo un esercizio in cui devo determinare l'insieme di definizione per una funzione abbastanza difficile. Lunedì ho l'esame di Analisi e ho provato a svolgere una prova uscita a giugno 2011, da qui l'esercizio che segue.

 

Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione:

 

f(x) = √(x^2-|x|)+(|log(x)|-1)^(π)+ arcsin(|x|)/(1+|x|)

 

Mi spiegate quali regole vanno applicate per piacere?

Domanda di fibonacci

 
Soluzioni

  • Ciao Fibonacci, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per determinare il dominio della funzione

    f(x) = √(x^2-|x|)+(|log(x)|-1)^(π)+ arcsin(|x|)/(1+|x|)

    dobbiamo imporre varie condizioni di esistenza e metterle a sistema, in quanto devono valere contemporaneamente. (A proposito: del dominio di funzioni e di come si calcola, ne parliamo qui)

    La prima condizione da prendere in considerazione riguarda la radice quadrata: dobbiamo richiedere che il suo argomento sia non negativo

    x^2-|x| ≥ 0

    Questa disequazione, risolta, ha soluzioni su x ∈ (-∞,0) U (1,+∞).

    Poi abbiamo quel misterioso termine

    (|log(x)|-1)^π

    che riscriviamo nella seguente forma, sfruttando l'uguaglianza a = e^(log(a))

    (|log(x)|-1)^π = e^(log([(|log(x)|-1)^π])) = e^(πlog([|log(x)|-1]))

    E quindi dobbiamo richiedere che gli argomenti dei due logaritmi siano positivi:

    |log(x)|-1 > 0

    e

    x > 0

    La prima delle due, in particolare, ha soluzioni

    x∈(-∞,(1)/(e)) U (e,+∞).

    Infine abbiamo un arcoseno e dunque dobbiamo richiedere che valvano le due condizioni

    (|x|)/(|x|+1) ≤ 1

    (|x|)/(|x|+1) ≥ -1

    che però hanno soluzioni per ogni x∈R.

    In definitiva, mettendo a sistema le condizioni trovate, deduciamo che la funzione ha dominio dato da

    Dom(f) = (e,+∞)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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