Soluzioni
  • Ciao Brizio92, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per determinare i valori di convergenza della serie

    \sum_{k=1}^{+\infty}{(\arcsin{(2x)})^k}

    dobbiamo fare riferimento alla serie geometrica (di cui parliamo dettagliatamente qui)

    \sum_{k=1}^{+\infty}{q^k}

    di ragione q, che converge per valori di q tali che |q|<1, quindi per trovare i valori di convergenza dobbiamo risolvere la disequazione

    |\arcsin{(2x)}|<1

    che equivale al sistema di disequazioni

    \arcsin{(2x)}<1

    \arcsin{(2x)}>-1

    Quindi - attenzione- dobbiamo prendere i valori

    2x<\sin{(1)}

    2x>\sin{(-1)}=-\sin{(x)}

    e quindi

    x\in\left(-\frac{1}{2}\sin{1},\frac{1}{2}\sin{(1)}\right)

    ---

    "vi è una differenza se la serie è presentata con termini ennesimi da quella con termini k-esimi?"

    No, è solo una questione di notazione degli indici, non c'è nessuna differenza

    ---

    Per quanto riguarda la serie

    \sum_{n=0}^{+\infty}{\left[e^{x-2}\right]^n}bisogna seguire lo stesso procedimento, solo che qui il modulo è ridondante essendo l'esponenziale sempre positiva, e quindi richiedendo che

    e^{x-2}<1

    ricaviamo

    x-2<0

    ossia

    x<2

    e abbiamo trovato i valori di convergenza della serie.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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