Soluzioni
  • Ciao 904 arrivo! :)

    Risposta di Ifrit
  • Supponiamo di avere una matrice quadrata A di ordine n, devi costruire una nuova matrice:

    A-\lambda I

    Dove:

    \lambda è un numero reale generico

    I è la matrice identità di ordine n.

    Calcoli il determinante della matrice A-\lambda I e imponi che sia uguale a zero, otterrai una equazione polinomiale di grado n.

    \mbox{det}(A-\lambda I)=0

    Trova le soluzione della equazione, esse saranno gli autovalori cercati

    Esempio:

    A=\left(\begin{matrix}1&1&2\\ 2&1&0\\ 1& 0& 1\end{matrix} \right)

    Calcoliamo la matrice A-\lambda I

    A-\lambda=\left(\begin{matrix}1-\lambda&1&2\\ 2&1-\lambda&0\\ 1& 0& 1-\lambda\end{matrix} \right)

    Calcoliamo il determinate che vale:

    \mbox{det}(A-\lambda I)= (1-\lambda)(\lambda-3)(\lambda +1)

    Imponiamo che sia uguale a zero:

    \mbox{det}(A-\lambda I)= (1-\lambda)(\lambda-3)(\lambda +1)=0

    e troviamo le soluzioni:

    \lambda_1= 1\,\, \lambda_2= 3\,\, \lambda_3=-1

    Questi sono gli autovalori della matrice A. Se vuoi qui su YM c'è una spiegazione con tutti i tips & tricks sul calcolo di autovalori e autovettori di una matrice. :)

    Risposta di Ifrit
  • e se invece voglio trovare gli autovalori di una funzione? in questo caso la molteplicità algebrica è 1? non è che potresti precisarmi anche il concetto di molteplicità algebrica? per trovare quella geometrica basta che calcolo la dimensione dell'autospazio associato a quegli autovalori?

    Risposta di 904
  • In questo caso la molteplicità algebrica di ciascun autovalore è 1. 

    In generale, il polinomio caratteristico p_n(\lambda)= \mbox{det}(A-\lambda I) può essere scomposto come:

    p_n(\lambda)= (\lambda-\lambda_1)^{\alpha_1} (\lambda-\lambda_2)^{\alpha_2}\cdots (\lambda-\lambda_k)^{\alpha_k}

    Diremo che la radice

    \lambda_1 ha molteplicità algebrica \alpha_1

    \lambda_2 ha molteplicità algebrica \alpha_2

    :

    • \lambda_k ha molteplicità algebrica \alpha_k

    In soldoni, la molteplicità algebrica di un autovalore è il numero di volte che compare come radice.

    Supponiamo di avere il seguente polinomio:

    (\lambda-5)^2 (\lambda -4)^3

    In questo caso avremo due radici:

    \lambda_1= 5 che ha molteplicità algebrica 2

    \lambda_2=4 che ha molteplicità algebrica 3

    Per la molteplicità geometrica hai centrato la definizione! 

    Dai un'occhiata qui: molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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