Comporre e discutere un sistema lineare parametrico con Rouché-Capelli

Question

Come si compone e come si discute un sistema lineare parametrico? Un esercizio assegna una matrice 2x3 e una matrice colonna e chiede di comporre un sistema lineare e di studiarne la compatibilità con Rouché Capelli al variare del parametro. Potete darmi una mano? Siano A = [k 1 0 ;-1 k^2 2] ; b = [1 ; 0] Comporre e studiare la compatibilità del sistema lineare A x = b al variare dei valori assunti dal parametro k.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Procediamo con ordine e per prima cosa componiamo il sistema .

Le matrici e sono note:

denota, invece, il vettore delle incognite, e affinché il prodotto riga per colonna tra e sia eseguibile, dev'essere una matrice colonna con 3 righe, ossia

x = [x_1 ; x_2 ; x_3]

Il sistema matriciale

equivale allora al sistema

[k 1 0 ;-1 k^2 2][x_1 ; x_2 ; x_3] = [1 ; 0]

Svolgiamo il prodotto riga per colonna

Due matrici sono uguali se coincidono elemento per elemento, per cui il sistema lineare parametrico da studiare è

kx_1+x_2 = 1 ;-x_1+k^2x_2+2x_3 = 0

Scriviamone le matrici associate:

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile se il rango di è uguale al rango di ; in caso contrario è impossibile.

Inoltre, detto il numero delle incognite, se

allora il sistema ammette soluzioni.

Il rango di è 2 qualsiasi sia il valore di , infatti il determinante della matrice che si estrae da eliminandone la prima colonna non dipende da ed è diverso da zero:

Tale matrice è anche una sottomatrice 2x2 di , quindi pure il suo rango è 2:

.

Il numero delle incognite è , e per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile per ogni e ammette soluzioni.

Con questo è tutto!