Soluzioni
  • Procediamo con ordine e per prima cosa componiamo il sistema A \mathbf{x} = \mathbf{b}.

    Le matrici A e \mathbf{b} sono note:

    A=\begin{pmatrix}k&1&0 \\ -1&k^2&2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}

    \mathbf{x} denota, invece, il vettore delle incognite, e affinché il prodotto riga per colonna tra A e \mathbf{x} sia eseguibile, \mathbf{x} dev'essere una matrice colonna con 3 righe, ossia

    \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}

    Il sistema matriciale

    A \mathbf{x} = \mathbf{b}

    equivale allora al sistema

    \begin{pmatrix}k&1&0 \\ -1&k^2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}

    Svolgiamo il prodotto riga per colonna

    \begin{pmatrix}kx_1+x_2 \\ -x_1+k^2x_2+2x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}

    Due matrici sono uguali se coincidono elemento per elemento, per cui il sistema lineare parametrico da studiare è

    \begin{cases}kx_1+x_2=1 \\ -x_1+k^2x_2+2x_3=0\end{cases}

    Scriviamone le matrici associate:

    A=\begin{pmatrix}k&1&0 \\ -1&k^2&2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}k&1&0 \\ -1&k^2&2\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix}\right)

    Per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile se il rango di A è uguale al rango di (A|\mathbf{b}); in caso contrario è impossibile.

    Inoltre, detto n il numero delle incognite, se

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=r

    allora il sistema ammette \infty^{n-r} soluzioni.

    Il rango di A è 2 qualsiasi sia il valore di k \in \mathbb{R}, infatti il determinante della matrice che si estrae da A eliminandone la prima colonna non dipende da k ed è diverso da zero:

    \mbox{det}\begin{pmatrix}1&0 \\ k^2&2\end{pmatrix} = 2-0 = 2

    Tale matrice è anche una sottomatrice 2x2 di (A|\mathbf{b}), quindi pure il suo rango è 2:

    \mbox{rk}(A)=\mbox{rk}(A|\mathbf{b})=2.

    Il numero delle incognite è n=3, e per il teorema di Rouché Capelli il sistema è compatibile per ogni k \in \mathbb{R} e ammette \infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni.

    Con questo è tutto!

    Risposta di Galois
 
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