Soluzioni
  • Il test è piuttosto articolato e anche la risposta lo sarà. Oltre a riportare la risposta esatta, daremo una brevissima spiegazione del perché è quella corretta.

    (a) L'area di un rettangolo è:

     1) una grandezza omogenea alla base e all'altezza del rettangolo;

    2) una classe di grandezze;

    3) una grandezza omogenea soltanto alla base del rettangolo;

    4) la classe di equivalenza alla quale il rettangolo appartiene;

    5) una grandezza omogenea soltanto all'altezza del rettangolo;

    La risposta corretta è la 4). Dal punto di vista formale, l'area di un poligono è effettivamente la classe di equivalenza alla quale il poligono appartiene. La relazione di equivalenza è quella di equiestensione.

    Nota. L'area del rettangolo non è una grandezza omogenea né alla base né all'altezza dello stesso, perché non hanno la stessa dimensione. Dal punto di vista dimensionale, infatti, altezza e base sono entrambe lunghezze, mentre l'area è il quadrato di una lunghezza.

    (b) Gli angoli \alpha\ \mbox{e} \ \beta sono commensurabili se esiste almeno un angolo:

    1) sottomultiplo di \alpha;

    2) sottomultiplo di \beta;

    3) sottomultiplo sia di \alpha sia di \beta;

    4) multiplo di \alpha e di \beta;

    5) multiplo di \alpha e sottomultiplo di \beta.

    La risposta corretta è 3): è praticamente la definizione di grandezze commensurabili. Se, infatti, esiste un angolo \gamma che è sottomultiplo di \alpha e di \beta, allora esistono due numeri interi n\ \mbox{e} \ m diversi da 0 tali che:

    - l'ampiezza di \alpha è uguale al prodotto tra n e l'ampiezza di \gamma

    \hat{\alpha}=n\cdot\hat{\gamma}

    - l'ampiezza di \beta è uguale al prodotto tra m e l'ampiezza di \gamma

    \hat{\beta}=m\cdot\hat{\gamma}

    Di conseguenza il rapporto tra le ampiezze è un numero razionale

    \frac{\hat{\alpha}}{\hat{\beta}}=\frac{n\cdot\hat{\gamma}}{m\cdot\hat{\gamma}}=\frac{n}{m}

    (c) La misura di un segmento è un numero:

    1) naturale;

    2) intero relativo;

    3) razionale negativo se il segmento è commensurabile con l'unità di misura;

    4) irrazionale se il segmento è commensurabile con l'unità di misura;

    5) razionale positivo se il segmento è commensurabile con l'unità di misura.

    La risposta corretta è la 5). In generale la misura di un segmento non è un numero naturale, né un intero relativo. Se il segmento è commensurabile con l'unità di misura, necessariamente il rapporto tra la misura del segmento e quella dell'unità di misura dovrà essere un numero razionale positivo: segue dalla definizione di grandezza commensurabile.

    (d) Le grandezze A\ \mbox{e} \ B hanno rispettivamente misura \overline{A}\ \mbox{e} \ \overline{B} rispetto a una prefissata unità di misura. Quale delle seguenti relazioni è vera?

    1) \overline{A}<\overline{B} \ \implies \ \overline{A+B}<\overline{B+A};

    2) A<B\ \implies \ \overline{A}>\overline{B};

    3) \overline{A}+\overline{B}=\overline{B+A};

    4) \overline{A}<\overline{B} \ \implies \ A>B;

    5) \overline{A} < \overline{B}\ \implies \ \overline{A}>\overline{B}.

    La risposta corretta è la 3) perché la misura della somma di due grandezze coincide con la somma delle misure.

    \overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B} 

    (e) La proporzione a:b =c:d è equivalente soltanto a quale delle seguenti proporzioni? 

    1)  (a+b):b=(c+d):d;

    2) (a-b):a=(c - d):d;

    3) b:a=c:d;

    4) a:c=d:b;

    5) (a+b):c=(b+c):a.

    La risposta esatta è 1). La proporzione a:b=c:d è equivalente alla seguente

    (a+b):b=(c+d):d

    Quest'ultima infatti si ottiene dalla prima usando la proprietà del comporre.

    (f) Qual è un'espressione per il perimetro di un rettangolo in termini della sua area, A, e la lunghezza della sua diagonale, d?

    1) P=\frac{4A}{d}

    2) P=2\cdot(\sqrt{2A}+d)

    3) P=\sqrt{4d^2+2A^4d^2 + 2A}

    4) P=2 \cdot \sqrt{d^2 + 2A}

    5) Nessuno di questi.

    La risposta corretta è 4). Per dimostrarlo partiamo dall'espressione

    2\cdot\sqrt{d^2+2A}

    Se indichiamo con b,h rispettivamente la base e l'altezza del rettangolo, allora:

    - il perimetro del rettangolo è P=2(b+h);

    - la diagonale del rettangolo è d=\sqrt{b^2+h^2}, per il teorema di Pitagora;

    - l'area del rettangolo è invece A=b\cdot h.

    Sostituendo in

    2\cdot\sqrt{d^2+2A}=

    otteniamo:

    =2\cdot\sqrt{(\sqrt{b^2+h^2})^2+2bh}=\\ \\ =2\cdot\sqrt{b^2+h^2+2bh}=

    Poiché b^2+h^2+2bh è lo sviluppo del quadrato di binomio (b+h)^2, ricaviamo infine:

    =2\cdot\sqrt{(b+h)^2}=2(b+h)=P.

    g) Un quadrato ha un perimetro P>0 e area A=2P, quindi qual è il valore di P?

    1) P=24;

    2) P=32;

    3) P=36;

    4) P=48;

    5) P=54.

    La risposta corretta è 3) infatti il perimetro di un quadrato di lato L è

    P=4 L

    mentre l'area del quadrato è data dalla formula

    A=L^2

    per cui A=2P si tramuta nell'equazione di secondo grado

    L^2=2\cdot 4 L \ \ \ \to \ \ \ L^2=8L

    Essa ammette come soluzioni:

    \bullet \ \ \ L=0, che però non è accettabile perché la misura del lato dev'essere positiva;

    \bullet \ \ \ L=8, accettabile perché rispetta le condizioni del problema.

    Se L=8, allora il perimetro del quadrato vale

    P=4L=4\cdot 8=32.

    Per ripassare: formule del quadrato.

    Risposta di Ifrit
 
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