Soluzioni
  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Tutti i problemi legati alla determinazione di dimensione e base di uno spazio/sottospazio vettoriale sono correlati tra loro, e pure i metodi di svolgimento sono dal punto di vista teorico strttamente correlati se non, in svariati casi, equivalenti. Dal punto di vista teorico, però. Dal punto di vista pratico, conviene adattare il procedimento al caso considerato.

    Vediamo come comportarsi nei due casi che proponi:

    1)Determinare la dimensione e una base dello spazio vettoriale V generato dal seguente sistema di vettori.

    {{3,-4},{0,4}}

    e in questo esercizio faccio in questo modo qui riduco a scalini i vettori che non si annullano sono linearmente indipendenti li conto e li considero come dimensione dello spazio vettoriale e li uso anche come vettori della base.

    Ok! Puoi equivalentemente verificare in linea diretta se i vettori sono linearmente dipendenti/indipendenti imponendo che

    a(3,-4)+b(0,4)=0

    se l'unica possibilità (=soluzione) è che i coefficienti della combinazione lineare siano nulli, allora i due vettori generano uno spazio di dimensione due e costituiscono una base dello spazio vettoriale che generano.

    Se invece trovi una soluzione non banale sui coefficienti, allora i due vettori sono linearmente dipendenti e quindi lo spazio da essi generato ha dimensione 1. Ne prendi uno dei due: questo costituisce una base dello spazio generato dai due vettori.

    Nota che questo è lo stesso che determinare il nucleo dell'applicazione lineare rappresentataa dalla matrice

    \left[\begin{matrix}3&0\\ -4& 4\end{matrix}\right] 

    se il nucleo è banale, cioè l'applicazione lineare è iniettiva, allora per Nullità più Rango l'applicazione lineare è suriettiva, quindi l'immagine ha dimensione massima nello spazio vettoriale d'arrivo. Quindi l'immagine dell'applicazione lineare, che è proprio lo spazio vettoriale generato dalle colonne della matrice, ha dimensione 2 pari al rango della matrice, che non a caso è la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle colonne della matrice stessa.

    Tutti i metodi proposti sono equivalenti.

    2) Determinare la dimensione e una base dello spazio vettoriale V rappresentato dal seguente sistema di equazioni:

    e mi si pone un sistema di equazioni simile a quello che incontro negli omomorfismi quando chiede di calcolare base e dimensione di nucleo e immagine ma se provo a risolverlo con quel procedimento non mi trovo mai col risultato facendo n-rk(A)

    Se il sistema lineare è omogeneo allora l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale, ed è proprio il nucleo dell'applicazione lineare rappresentata dalla matrice dei coefficienti. Il metodo deve funzionare ugualmente, occhio ai calcoli!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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