Studio della continuità di una funzione trigonometrica definita a tratti

Question

Vorrei un aiutino per risolvere un problema sulla continuità di una funzione definita a tratti.

Determinare il parametro reale in modo che sia continua la funzione definita a tratti

f(x) = a-(2)/(3)sin(x) se x∈((3π)/(2),2π] ; 2cos(x)+asin(x) se x∈[0,(3π)/(2)]

Non so proprio dove mettere le mani. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo la funzione f(x) = a-(2)/(3)sin(x) se x∈((3π)/(2),2π] ; 2cos(x)+asin(x) se x∈[0,(3π)/(2)) Essa è una funzione definita a tratti mediante le due funzioni: • f_(1)(x) = a-(2)/(3)sin(x) se x∈((3π)/(2), 2π] è una funzione continua indipendentemente dal parametro reale a perché composizione di funzioni continue; • f_(2)(x) = 2cos(x)+asin(x) se x∈[0,(3π)/(2)] è una funzione continua indipendentemente dal parametro a perché somma di seni e coseni entrambe notoriamente continue. L'unico punto in cui dobbiamo controllare la continuità è il punto di giuntura x_0 = (3π)/(2). Affinché f(x) sia una funzione continua nel punto x_0 dobbiamo richiedere che i limiti destro e sinistro per x → (3π)/(2) coincidano con il valore che la funzione assume in x_0 = (3π)/(2). In altre parole, deve sussistere la doppia uguaglianza lim_(x → (3π)/(2)^(+))f(x) = lim_(x → (3π)/(2)^(-)) = f((3π)/(2)) Calcoliamo il limite destro per x → (3π)/(2) considerando il primo ramo della funzione giacché x tende a (3π)/(2) per valori più grandi di (3π)/(2) lim_(x → (3)/(2)π^(+))f(x) = lim_(x → (3)/(2)π^(+))(a-(2)/(3)sin(x)) = (2)/(3)+a Determiniamo il limite sinistro per x → (3π)/(2) prendendo in considerazione il secondo ramo della funzione perché questa volta x tende a (3π)/(2) per valori minori di (3π)/(2) lim_(x → (3)/(2)π^(-))f(x) = lim_(x → (3)/(2)π^(-))(2cos(x)+asin(x)) = -a Infine valutiamo la funzione nel punto x_(0) = (3)/(2)π f((3)/(2)π) = 2cos((3)/(2)π)+asin((3)/(2)π) = -a Con i valori trovati riscriviamo la doppia uguaglianza lim_(x → (3π)/(2)^(+))f(x) = lim_(x → (3π)/(2)^(-)) = f((3π)/(2)) come (2)/(3)+a = -a = -a che si può esprimere in forma equivalente come il sistema lineare (2)/(3)+a = -a ;-a = -a La seconda equazione del sistema è in realtà un'identità ed è dunque soddisfatta per ogni a. La prima è un'equazione di primo grado che, risolta, fornisce il valore da attribuire al parametro affinché f(x) sia continua (2)/(3)+a = -a → 2a = -(2)/(3) → a = -(1)/(3) Possiamo finalmente concludere che f(x) è continua se e solo se a = -(1)/(3).

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