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  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Partiamo dalle definizioni non formali, mi preoccupo di porre in evidenza cosa caratterizza e differenzia omomorfismi, endomorfismi, monomorfismi, isomorfismi, automorfismi di spazi vettoriali.

    - Un omomorfismo di spazi vettoriali f:V\to W è un'applicazione lineare tra i due spazi vettoriali

    - Un epimorfismo di spazi vettoriali f:V\to W è un omomorfismo suriettivo tra due spazi vettoriali

    - Un monomorfismo di spazi vettoriali f:V\to W è un omomorfismo iniettivo tra due spazi vettoriali

    - Un isomorfismo di spazi vettoriali f:V\to W è un omomorfismo biettivo tra due spazi vettoriali

    Parlando di spazi vettoriali finito dimensionali non senti mai parlare di epimorfismi o di monomorfismi perché, grazie al teorema dell Nullità più rango, un omomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo. Quindi - ripeto - tra spazi vettoriali finito dimensionali epimorfismi, monomorfismi ed isomorfismi sono nozioni equivalenti.

    - Un endomorfismo è un omomorfismo di uno spazio vettoriale è un omomorfismo di uno spazio in sè, vale a dire un omomorfismo della forma f:V\to V

    - Un automorfismo è un endomorfismo biettivo, cioè un isomorfismo di uno spazio in sè.

    ---

    Per determinare la dimensione e una base dell'immagine di un omomorfismo tra due spazi vettoriali f:V\to W, determina prima di tutto la matrice associata all'applicazione lineare considerata. L'immagine dell'applicazione lineare è lo spazio generato dalle colonne della matrice, dunque la dimensione dell'immagine è data dal rango della matrice (per righe o per colonne poco importa, tanto coincidono).

    Riduci la matrice a scala e conta il numero di pivot non nulli: è il rango della matrice (il massimo numero di colonne o righe linearmente indipendenti). Considera i vettori colonna corrispondenti ai pivot non nulli. Ci sei: questi costituiscono una base dell'immagine dell'applicazione lineare.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok unica cosa ma perchè l'immagine dell'applicazione lineare è lo spazio generato dalle colonne della matrice???

    Risposta di 904
  • Con un esempio dovremmo cavarcela. Uno semplice semplice.

    Prendiamo il caso dell'applicazione \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 data da

    f(x,y)=(x+2y,3x-y,-x-y)

    che è rappresentata dalla matrice

    f(x,y)=\left[\begin{matrix}1&2\\ 3& -1\\ -1&-1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y\end{matrix}\right]

    Ora osserva che l'immagine dell'applicazione lineare è per definizione di f data da

    (x+2y,3x-y,-x-y)

    Se prendiamo una generica combinazione lineare dei vettori colonna della matrice rappresentativa

    x\left[\begin{matrix}1\\ 3\\-1\end{matrix}\right]+y\left[\begin{matrix}2\\ -1\\-1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x+2y\\ 3x-y\\-x-y\end{matrix}\right]

    la generica combinazione lineare dei vettori colonna della matrice rappresentativa fornisce la generica immagine dell'applicazione lineare. Vale a dire: i vettori colonna generano l'immagine dell'applicazione lineare. Cosa vuol dire sistema di generatori di uno spazio? Vuol dire semplicemente che le combinazioni lineari dei vettori di quel sistema generano tutti gli elementi dello spazio stesso.

    Non è un caso che succeda sempre nel caso delle matrici rappresentative: le matrici associate ad una applicazione lineare, infatti, vengono costruite in modo tale che il prodotto riga per colonna tra la matrice e il vettore delle incognite restituisca la generica immagine dell'applicazione lineare stessa.

    In sintesi: fare il prodotto riga per colonna tra matrice e vettore delle incognite e prendere combinazioni lineari dei vettori colonna della matrice è la stessa identica cosa.

    Non necessariamente i vettori colonna saranno tutti linearmente indipendenti tra di loro (qui si, vabbè...). Con la riduzione a scala individui il più grande insieme di vettori colonna linearmente indipendenti: che generino l'immagine dell'applicazione lineare, lo abbiamo visto. Se poi sono pure linearmente indipendenti, allora costituiscono una base dell'immagine.

    Una base è infatti un sistema di generatori linearmente indipendenti.

    Risposta di Omega
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