Soluzioni
  • Per prima cosa, determiniamo il dominio della funzione

    f(x) = (e^(2x))/(√(x^2-3))

    tenendo presente che nella funzione è presente una radice con indice pari al denominatore. Affinché la funzione abbia senso dobbiamo richiedere che il radicando sia positivo e non nullo. In altri termini deve essere soddisfatta la disequazione di secondo grado

    x^2-3 > 0 → x^2 > 3 → x < -√(3) ∨ x > √(3)

    Il dominio è pertanto

    Dom(f) = (-∞,-√(3)) U (√(3),+∞)

    Da come si presenta l'insieme di esistenza della funzione deduciamo che i limiti da calcolare sono due: il limite destro per x → √(3) e quello sinistro per x → -√(3).

    Calcoliamo i due limiti: per farlo, conviene scrivere la funzione nella forma equivalente

    f(x) = (e^(2x))/(√((x-√(3))(x+√(3))))

    ottenuta scomponendo il polinomio x^2-3 mediante la regola relativa alla differenza di quadrati.

    Cominciamo dal limite sinistro per x → -√(3)

    lim_(x → (-√(3))^-)(e^(2x))/(√((x-√(3))(x+√(3)))) =

    che nel contesto dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi diventa

    = [(e^(2√(3)))/(√(-2√(3)·0^(-)))] = [(e^(2√(3)))/(0^(+))] = [(costante positiva)/(0^+)] = +∞

    Sottolineiamo che le precedenti non sono uguaglianze, bensì pseudodisuguaglianze, che però rendono bene l'idea di ciò che succede.

    Analogamente, per il limite destro per x → √(3) otteniamo

     lim_(x → (√(3))^+)(e^(2x))/(√((x-√(3))(x+√(3)))) = [(e^(2√(3)))/(√(2√(3)·0^+))] = [(costante positiva)/(0^+)] = +∞

    Possiamo considerare concluso il problema.

    Risposta di Ifrit
 
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