Integrale fratto con senx+cosx a denominatore

L'integrale di 1 fratto la somma tra sen(x) e cos(x) è un integrale trigonometrico e si calcola per sostituzione facendo riferimento alle formule parametriche. Tra un attimo vedremo come si risolve, spiegando e commentando tutti i passaggi, ma intanto ecco il risultato:

Calcolo dell'integrale indefinito di 1 fratto sen(x)+cos(x)

Generalmente l'integrale di una funzione che dipende dalle funzioni trigonometriche e si risolve applicando il metodo di integrazione per sostituzione e, nello specifico, con sostituzioni parametriche.

Poniamo allora

e applichiamo le formule parametriche, che permettono di esprimere seno e coseno di in funzione di

Prima di sostituire nell'integrale di partenza dobbiamo determinare il nuovo differenziale. Torniamo all'uguaglianza

ricaviamo in funzione di

e deriviamo membro a membro, ricordando che la derivata di x è 1 e che la derivata dell'arcotangente di è uguale al reciproco della somma di 1 e

Possiamo ora sostituire nell'integrale

e, dopo qualche semplice passaggio algebrico, otteniamo

Siamo così passati da un integrale trigonometrico a un integrale di una funzione razionale, in cui il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.

Fattorizziamo il polinomio a denominatore con la tecnica di scomposizione dei polinomi di secondo grado mediante equazione associata.

L'equazione di secondo grado associata al polinomio a denominatore è

e le sue soluzioni sono

Di conseguenza

Interviene ora il metodo dei fratti semplici.

- Al fattore associamo il fratto semplice

- Al fattore associamo il fratto semplice

Dobbiamo ora calcolare i valori delle costanti in modo che

Svolgiamo l'addizione tra frazioni algebriche a secondo membro

e otteniamo:

Applichiamo il principio di identità dei polinomi e costruiamo il seguente sistema lineare

Troviamone la soluzione. Ricaviamo in termini di dalla prima equazione, sostituiamo nella seconda e risolviamo quest'ultima

Sostituiamo a ritroso e otteniamo

In definitiva

Torniamo all'integrale nel punto cui ci siamo fermati

Applichiamo le proprietà di additività e omogeneità dell'integrale di Riemann

Semplifichiamo le costanti moltiplicative e risolviamo i due integrali, che sono due integrali fondamentali (osserviamo che i numeratori delle funzioni integrande sono le derivate dei rispettivi denominatori)

Raccogliamo a fattor comune e applichiamo una delle proprietà dei logaritmi (la differenza di logaritmi con la stessa base è un logaritmo che ha per base la stessa base e come argomento il rapporto degli argomenti)

Ci siamo quasi! Torniamo alla variabile , ricordando che avevamo imposto

e ricaviamo

***

È tutto! Concludiamo con qualche riferimento utile:

- lezione sugli integrali trigonometrici, per fare un ripasso dei metodi più usati per svolgere gli integrali di questo tipo;

- scheda di esercizi svolti sugli integrali di funzioni trigonometriche, con cui potrai esercitarti in vista degli esami o dei compiti in classe;

- tool per calcolare gli integrali online, da usare per verificare i risultati degli esercizi.