Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo :D

     

    Risposta di Ifrit
  • Il trucco è  utilizzare le formule parametriche: calcoliamo l'integrale per sostituzione, ponendo:

    t= \tan(x/2)\implies x= 2\arctan(t) 

    allora il seno si riscrive come:

    \sin x= \frac{2t}{1+t^2}

    Mentre il coseno:

    \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}

    Sostituendo otterrai che:

    \frac{1}{\sin(x)+cos(x)}= -\frac{1+t^2}{t^2-2t-1}

    Inoltre:

    dx=\frac{2}{1+t^2} dt

    Grazie a questa sostituzione l'integrale diventa:

    \int -\frac{1+t^2}{t^2-2t-1} \,\, \frac{2}{1+t^2} dt

    Semplificando ottieni:

    \int -\frac{2}{t^2-2t-1}dt= -2\int \frac{1}{t^2-2t-1}dt

    Scomponiamo il polinomio al denominatore e per farlo aggiungiamo e sottraiamo 1:

    t^2-2t+1-1-1= (t-1)^2-2= (t-1+\sqrt{2})(t-1-\sqrt{2})

    se non sei capace di usare questo metodo puoi benissimo trovare le radici del polinomio e scomporlo! ;)

     

    A questo punto interviene il metodo dei fratti semplici:

    \frac{1}{t^2-2t-1}= \frac{A}{t-1+\sqrt{2}}+\frac{B}{t-1-\sqrt{2}}

    Da cui:

    1= A(t-1-\sqrt{2})+B (t-1+\sqrt{2})

    1= (A+B)t+\sqrt{2}(-A+B )

    Grazie al principio di identità dei polinomi abbiamo che:

    \begin{cases}A+B=0\\ -A+B= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Da cui 

    A= -\frac{1}{2\sqrt{2}}\qquad B= \frac{1}{2\sqrt{2}}

     

    Sostituendo a ritroso:

    -2\int -\frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{1}{t-1+\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}} \frac{1}{t-1-\sqrt{2}}dt=

    -2\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log\left(|t-1+\sqrt{2}|\right)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\log|t-1-\sqrt{2}|\right)

    Mettiamo in evidenza \frac{1}{2\sqrt{2}} 

    -\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\log\left(|t-1+\sqrt{2}|\right)+\log|t-1-\sqrt{2}|\right)+c

    Per la proprietà dei logaritmi:

    -\frac{1}{\sqrt{2}}\log\left|\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}}\right|+c

    Ma la nostra t è in realtà \tan(x/2) quindi:

    -\frac{1}{\sqrt{2}}\log\left|\frac{\tan(x/2)-1-\sqrt{2}}{\tan(x/2)-1+\sqrt{2}}\right|+c

    Controlla tutto mi raccomando :)

    Risposta di Ifrit
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