Soluzioni
  • Ciao 904 :)

    Qualora non l'avessi già fatto ti invito a prendere visione del nostro articolo dove spieghiamo proprio come ricavare dimensione e base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

    La prima cosa da fare è scriversi la matrice dei coefficienti associata al sistema lineare omogeneo che è data da

    A=\begin{pmatrix}-4&5&-3&-1&-2 \\ 0&-5&-2&5&-4 \\ 12&-35&1&23&-10 \\ 16&-15&14&-1&12\end{pmatrix}

    A questo punto, la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema è data dalla differenza tra il numero delle incognite (n=5) ed il rango della matrice A mentre una base si trova risolvendo il sistema, ossia trovando le soluzioni ed esprimendole sotto forma di un'opportuna combinazione lineare.

    Procediamo con il metodo di eliminazione gaussiana che ci permetterà di trovare il rango della matrice e di ottenere la matrice ridotta a scala che faciliterà notevolmente il calcolo delle soluzioni del sistema.

    Procediamo sostituendo:

    la terza riga con la somma tra la terza riga ed il triplo della prima riga:

    R_3=R_3+3R_1=

    =(12, \ -35, \ 1, \ 23, \ -10)+(-12, \ 15, \ -9, \ -3, \ -6)=(0, \ -20, \ -8, \ 20, \ -16)

    e la quarta riga con la somma tra la quarta riga ed il quadruplo della prima riga, ossia

    R_4=R_4+4R_1=

    =(16, \ -15, \ 14, \ -1, \ 12)+(-16, \ 20, \ -12, \ -4, \ -8)=(0, \ 5, \ 2, \ -5, \ 4)

    Abbiamo così annullato tutti gli elementi sotto al primo pivot:

    \begin{pmatrix}-4&5&-3&-1&-2 \\ 0&-5&-2&5&-4 \\ 0&-20&-8&20&-16 \\ 0&5&2&-5&4\end{pmatrix}

    Per annullare gli elementi sotto al secondo pivot sostituiamo:

    la terza riga con la differenza tra il quadruplo della seconda riga e la terza riga

    R_3=4R_2-R_3

    la quarta riga con la somma tra seconda e quarta riga

    R_4=R_2+R_4

    Otterremo così la matrice ridotta

    A'=\begin{pmatrix}-4&5&-3&-1&-2 \\ 0&-5&-2&5&-4 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}

    Dal momento che abbiamo due pivot non nulli possiamo concludere che il rango della matrice dei coefficienti associata al sistema è uguale a 2. Di conseguenza la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di partenza è

    5-\mbox{rango}(A)=5-2=3.

    Per determinare una base di tale sottospazio dobbiamo allora assegnare a tre delle cinque incognite il ruolo di parametro. Ponendo

    x_3=a, \ x_4=b, \ x_5=c \mbox{ con } a,b,c \in \mathbb{R}

    dalla matrice ridotta abbiamo

    \begin{cases}-4x_1+5x_2-3x_3-x_4-2x_5=0 \\ -5x_2-2x_3+5x_4-4x_5=0 \end{cases}

    Dalla seconda equazione possiamo allora ricavare il valore di x_2 in funzione dei tre parametri

    x_2=-\frac{2}{5}x_3+x_4-\frac{4}{5}x_5=-\frac{2}{5}a+b-\frac{4}{5}c

    e sostituendo nella prima equazione otteniamo il valore dell'incognita x_1 sempre in funzione di a, b e c.

    x_1=\frac{5}{4}x_2-\frac{3}{4}x_3-\frac{1}{4}x_4-\frac{1}{2}x_5=

    =\frac{5}{4}\left(-\frac{2}{5}a+b-\frac{4}{5}c\right)-\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c=

    =-\frac{1}{2}a+\frac{5}{4}b-c-\frac{3}{4}a-\frac{1}{4}b-\frac{1}{2}c=

    =-\frac{5}{4}a+b-\frac{3}{2}c

    Le \infty^3 soluzioni del sistema sono allora date da

    (x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4, \ x_5)=\left(-\frac{5}{4}a+b-\frac{3}{2}c,  \ -\frac{2}{5}a+b-\frac{4}{5}c, \ a, \ b, \ c\right)

    Per ricavare la base del sottospazio delle soluzioni basta ora esprimere le soluzioni trovate sotto forma di combinazione lineare avente come coefficienti i parametri a, b e c: 

    \left(-\frac{5}{4}a+b-\frac{3}{2}c, \  -\frac{2}{5}a+b-\frac{4}{5}c, \ a, \ b, \ c\right)=

    =a\left(-\frac{5}{4},-\frac{2}{5},1,0,0\right)+b(1,1,0,1,0)+c\left(-\frac{3}{2},-\frac{4}{5},0,0,1\right)

    Abbiamo finito! Una base dello spazio delle soluzioni è

    \left\{\left(-\frac{5}{4},-\frac{2}{5},1,0,0\right), \ (1,1,0,1,0), \ \left(-\frac{3}{2},-\frac{4}{5},0,0,1\right)\right\}

    Risposta di Galois
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