Convergenza di un integrale improprio goniometrico

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Buongiorno come potresi studiare la convergenza di questo integrale improprio trigonometrico? Eccolo qui:

 

Integrale tra 0 e pigreco di 1 / sen(x) dx.

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per studiare la convergenza dell'integrale improprio di seconda specie

    ∫_(0)^(π)(1)/(sin(x))dx

    è sufficiente valutare il comportamento dell'integranda nell'intorno degli estremi di integrazione. Per farlo, sviluppiamo sin(x) in serie di Taylor al primo ordine prima nell'intorno di x = 0:

    sin(x) = x+o(x^2)

    dopodiché lo sviluppiamo nell'intorno di x = π

    sin(x) = -(x-π)+o((x-π)^2)

    E se ne deduce che l'integrale è divergente, poiché in entrambi gli estremi di integrazione abbiamo un'integranda a denominatore con esponente 1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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