Soluzioni
  • Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette

     r: x-y+z = 2x-y-1 = 0 ; s: x+y = z = 0

    ed esprimiamole nelle forme equivalenti

     r: x-y+z = 0 ; 2x-y-1 = 0 ; s: x+y = 0 ; z = 0

    Per dimostrare che r,s sono effettivamente rette sghembe, passiamo dalla forma cartesiana alla forma parametrica sia r che s, cominciando dalla prima:

    x-y+z = 0 ; 2x-y-1 = 0

    Isoliamo x nella prima equazione

    x = y-z ; 2x-y-1 = 0

    e sostituiamo x = y-z nella seconda

    x = y-z ; 2(y-z)-y-1 = 0 → x = y-z ; y-2z-1 = 0

    Esprimiamo y in termini di z

    x = y-z ; y = 2z+1

    e sostituiamo all'indietro

    x = (2z+1)-z ; y = 2z+1 → x = z+1 ; y = 2z+1

    Eleggendo a parametro z, ponendo cioè z = t, otteniamo la seguente rappresentazione parametrica per la retta r

    r: x = 1+t ; y = 1+2t ; z = t con t∈R

    da cui deduciamo sia un suo punto P_r, sia un vettore direttore v_r per r:

    P_(r)(1,1,0) , v_(r) = (1,2,1)

    Teniamoli da parte e occupiamoci della retta s

    s: x+y = 0 ; z = 0

    Nella prima relazione isoliamo x al primo membro

    x = -y ; z = 0

    e poniamo y = t, ricavando così la seguente parametrizzazione

    x = -t ; y = t ; z = 0 con t∈R

    da cui si deducono immediatamente sia il punto di passaggio P_(s), sia il vettore direttore associato v_(s)

    P_(s)(0,0,0) , v_(s) = (-1,1,0)

    A questo punto determiniamo il vettore overrightarrowP_(r)P_(s), avente per componenti la differenza tra le  coordinate omonime del punto P_(s) e quelle di P_(r)

     overrightarrowP_(r)P_(s) = (x_(P_(s))-x_(P_(r)), y_(P_(s))-y_(P_(r)), z_(P_(s))-z_(P_(r))) = (0-1, 0-1, 0-0) = (-1,-1,0)

    Se overrightarrowP_(r)P_(s), v_(r) e v_(s) sono vettori linearmente indipendenti, allora r,s sono rette sghembe, e viceversa.

    Questa osservazione ci permette di analizzare il problema dal punto di vista algebrico, infatti la lineare indipendenza dei tre vettori è garantita nel momento in cui la matrice avente per righe i tre vettori ha determinante non nullo.

    Impostiamo quindi il determinante:

    det[-1 -1 0 ; 1 2 1 ;-1 1 0] =

    e calcoliamolo sviluppandolo con la regola di Laplace lungo la terza colonna

    = -1·det[-1 -1 ;-1 1] = -1·[-1-1] = 2 ne 0

    Data la non nullità del determinante, il vettori overrightarrowP_(r)P_(s),v_(r),v_(s) sono linearmente indipendenti, pertanto le rette r,s sono sghembe.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare