Dire se due rette nello spazio sono sghembe, parallele o incidenti

Mi viene chiesto di stabilire la posizione reciproca di due rette espresse in forma cartesiana. Un mio compagno di corso mi ha fornito il risultato dicendomi che sono rette sghembe, ma non capisco come dimostrarlo.

Dato un sistema monometrico ortonormale Stabilire la posizione reciproca delle rette di equazioni cartesiane:

$\\ r: \ x-y+z=2x-y-1=0 \\ \\ s:\ x+y=z=0$

Come si fa? Grazie.

Domanda di Giulialg88

Soluzioni

Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette
$\\ r: \ x-y+z=2x-y-1=0 \\ \\ s:\ x+y=z=0$
ed esprimiamole nelle forme equivalenti
$\\ r:\ \begin{cases}x-y+z=0\\ 2x-y-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+y=0\\ z=0\end{cases}$
Per dimostrare che sono effettivamente rette sghembe, passiamo dalla forma cartesiana alla forma parametrica sia che , cominciando dalla prima:
$\begin{cases}x-y+z=0 \\ 2x-y-1=0\end{cases}$
Isoliamo nella prima equazione
$\begin{cases}x=y-z \\ 2x-y-1=0\end{cases}$
e sostituiamo nella seconda
$\begin{cases}x=y-z \\ 2(y-z)-y-1=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \begin{cases}x=y-z\\ y-2z-1=0\end{cases}$
Esprimiamo in termini di
$\begin{cases}x=y-z\\ y=2z+1\end{cases}$
e sostituiamo all'indietro
$\begin{cases}x=(2z+1)-z\\ y=2z+1\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=z+1\\ y=2z+1\end{cases}$
Eleggendo a parametro , ponendo cioè , otteniamo la seguente rappresentazione parametrica per la retta
$r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$
da cui deduciamo sia un suo punto , sia un vettore direttore $\mathbf{v}_r$ per :
$P_{r}(1,1,0)\ \ \ , \ \ \ \mathbf{v}_{r}=(1,2,1)$
Teniamoli da parte e occupiamoci della retta
$s:\ \begin{cases}x+y=0\\ z=0\end{cases}$
Nella prima relazione isoliamo al primo membro
$\begin{cases}x=-y\\ z=0\end{cases}$
e poniamo , ricavando così la seguente parametrizzazione
$\begin{cases}x=-t\\ y=t\\ z=0\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}$
da cui si deducono immediatamente sia il punto di passaggio $P_{s}$ , sia il vettore direttore associato $\mathbf{v}_{s}$
$P_{s}(0,0,0) \ \ \ , \ \ \ \mathbf{v}_{s}=(-1,1,0)$
A questo punto determiniamo il vettore $\overrightarrow{P_{r}P_{s}}$ , avente per componenti la differenza tra le coordinate omonime del punto $P_{s}$ e quelle di $P_{r}$
$\\ \overrightarrow{P_{r}P_{s}}=(x_{P_{s}}-x_{P_{r}}, \ y_{P_{s}}-y_{P_{r}}, \ z_{P_{s}}-z_{P_{r}})= \\ \\ =(0-1,\ 0-1,\ 0-0)=(-1,-1,0)$
Se $\overrightarrow{P_{r}P_{s}}, \mathbf{v}_{r}$ e $\mathbf{v}_{s}$ sono vettori linearmente indipendenti, allora sono rette sghembe, e viceversa.
Questa osservazione ci permette di analizzare il problema dal punto di vista algebrico, infatti la lineare indipendenza dei tre vettori è garantita nel momento in cui la matrice avente per righe i tre vettori ha determinante non nullo.
Impostiamo quindi il determinante:
$\mbox{det}\begin{pmatrix}-1&-1&0\\ 1&2&1\\ -1&1&0\end{pmatrix}=$
e calcoliamolo sviluppandolo con la regola di Laplace lungo la terza colonna
$=-1\cdot\mbox{det}\begin{pmatrix}-1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}=-1\cdot [-1-1]=2\ne 0$
Data la non nullità del determinante, il vettori $\overrightarrow{P_{r}P_{s}},\mathbf{v}_{r},\mathbf{v}_{s}$ sono linearmente indipendenti, pertanto le rette sono sghembe.
Risposta di Ifrit