Dire se due rette nello spazio sono sghembe, parallele o incidenti

Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette

ed esprimiamole nelle forme equivalenti

Per dimostrare che sono effettivamente rette sghembe, passiamo dalla forma cartesiana alla forma parametrica sia che , cominciando dalla prima:

Isoliamo nella prima equazione

e sostituiamo nella seconda

Esprimiamo in termini di

e sostituiamo all'indietro

Eleggendo a parametro , ponendo cioè , otteniamo la seguente rappresentazione parametrica per la retta

da cui deduciamo sia un suo punto , sia un vettore direttore per :

Teniamoli da parte e occupiamoci della retta

Nella prima relazione isoliamo al primo membro

e poniamo , ricavando così la seguente parametrizzazione

da cui si deducono immediatamente sia il punto di passaggio , sia il vettore direttore associato

A questo punto determiniamo il vettore , avente per componenti la differenza tra le  coordinate omonime del punto e quelle di

Se e sono vettori linearmente indipendenti, allora sono rette sghembe, e viceversa.

Questa osservazione ci permette di analizzare il problema dal punto di vista algebrico, infatti la lineare indipendenza dei tre vettori è garantita nel momento in cui la matrice avente per righe i tre vettori ha determinante non nullo.

Impostiamo quindi il determinante:

e calcoliamolo sviluppandolo con la regola di Laplace lungo la terza colonna

Data la non nullità del determinante, il vettori sono linearmente indipendenti, pertanto le rette sono sghembe.