esercizio rette sghembe,parallele e incidenti

Fissato un riferimento cartesiano monometrico ortogonale dello spazio della geometria elementare, le rette:

r: (x,y,z)= t(1,0,-1)    e     s: { 2x+y+z=0

                                         {2x+y+2z=0  

sono parallele,incidenti o sghembe?

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di Giulialg88

Soluzioni

  • Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per capire la mutua posizione delle due rette, bisogna determinare la direzione della seconda retta, che ahinoi è scritta in coordinate cartesiane come intersezione di due piani. Dobbiamo passare alla forma parametrica.

    Per farlo, sostituiamo una delle tre variabili, ad esempio y, con un parametro t e sostituiamo la seconda equazione

    2x+y+2z=0

    con la differenza tra la seconda equazione e la prima, trovando

    z=0

    Ora sostituiamo z=0 e y=t nella prima equazione, trovando

    2x+t=0

    ossia

    x=-\frac{1}{2}t

    e quindi abbiamo trovato le equazioni parametriche della second retta

    x=-\frac{1}{2}t

    y=t

    z=0

    In particolare si deduce che tale retta ha direzione parallela al vettore

    (-1/2,1,0)

    E se ne deduce che le due rette non sono parallele...ma nemmeno sghembe: sono incidenti, infatti si intersecano nell'origine.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • .ma nemmeno sghembe: sono incidenti, infatti si intersecano nell'origine                                                  

    perchè non sono sghembe?

    Risposta di Giulialg88

  • Perché sono complanari Embarassed perdonami, l'ho inteso implicitamente.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • e come dimostro chesono complanari?

    Risposta di Giulialg88

  • Essendo incidenti, si incontrano in un punto, e quindi appartengono allo stesso piano. Il piano è proprio quello generato dalle due rette Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • quindi io in questo tipo di esercizi vedo prima se sono parallele,se non sono parallele vedo se sono incidenti altrimenti sono sghembe,giusto?

     

    Risposta di Giulialg88

  • In realtà qui potevamo risolvere più velocemente, perché si vede a occhio che il punto O=(0,0,0) appartiene ad entrambe le rette.

    In generale, però, conviene calcolare le direzioni che definiscono le rette: se sono parallele, sono chiaramente complanari. Se non sono parallele, abbiamo due possibilità: sono incidenti, oppure no. Se sono incidenti, allora sono complanari. Se non sono incidenti e neppure parallele, devono essere sghembe; se sono incidenti ma parallele, infatti, appartengono ad uno stesso piano.

    Nota che il caso "perpendicolari" rientra nel caso delle rette incidenti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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