Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette
ed esprimiamole nelle forme equivalenti
Per dimostrare che
sono effettivamente rette sghembe, passiamo dalla forma cartesiana alla forma parametrica sia
che
, cominciando dalla prima:
Isoliamo
nella prima equazione
e sostituiamo
nella seconda
Esprimiamo
in termini di
e sostituiamo all'indietro
Eleggendo a parametro
, ponendo cioè
, otteniamo la seguente rappresentazione parametrica per la retta
da cui deduciamo sia un suo punto
, sia un vettore direttore
per
:
Teniamoli da parte e occupiamoci della retta
Nella prima relazione isoliamo
al primo membro
e poniamo
, ricavando così la seguente parametrizzazione
da cui si deducono immediatamente sia il punto di passaggio
, sia il vettore direttore associato
A questo punto determiniamo il vettore
, avente per componenti la differenza tra le coordinate omonime del punto
e quelle di
Se
e
sono vettori linearmente indipendenti, allora
sono rette sghembe, e viceversa.
Questa osservazione ci permette di analizzare il problema dal punto di vista algebrico, infatti la lineare indipendenza dei tre vettori è garantita nel momento in cui la matrice avente per righe i tre vettori ha determinante non nullo.
Impostiamo quindi il determinante:
e calcoliamolo sviluppandolo con la regola di Laplace lungo la terza colonna
Data la non nullità del determinante, il vettori
sono linearmente indipendenti, pertanto le rette
sono sghembe.
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |