Soluzioni
  • Partiamo dalle equazioni cartesiane delle rette

    \\ r: \ x-y+z=2x-y-1=0 \\ \\ s:\ x+y=z=0

    ed esprimiamole nelle forme equivalenti

    \\ r:\ \begin{cases}x-y+z=0\\ 2x-y-1=0\end{cases} \\ \\ \\ s:\ \begin{cases}x+y=0\\ z=0\end{cases}

    Per dimostrare che r,s sono effettivamente rette sghembe, passiamo dalla forma cartesiana alla forma parametrica sia r che s, cominciando dalla prima:

    \begin{cases}x-y+z=0 \\ 2x-y-1=0\end{cases}

    Isoliamo x nella prima equazione

    \begin{cases}x=y-z \\ 2x-y-1=0\end{cases}

    e sostituiamo x=y-z nella seconda

    \begin{cases}x=y-z \\ 2(y-z)-y-1=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \begin{cases}x=y-z\\ y-2z-1=0\end{cases}

    Esprimiamo y in termini di z

    \begin{cases}x=y-z\\ y=2z+1\end{cases}

    e sostituiamo all'indietro

    \begin{cases}x=(2z+1)-z\\ y=2z+1\end{cases} \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=z+1\\ y=2z+1\end{cases}

    Eleggendo a parametro z, ponendo cioè z=t, otteniamo la seguente rappresentazione parametrica per la retta r

    r:\ \begin{cases}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=t\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    da cui deduciamo sia un suo punto P_r, sia un vettore direttore \mathbf{v}_r per r:

    P_{r}(1,1,0)\ \ \ , \ \ \ \mathbf{v}_{r}=(1,2,1)

    Teniamoli da parte e occupiamoci della retta s

    s:\ \begin{cases}x+y=0\\ z=0\end{cases}

    Nella prima relazione isoliamo x al primo membro

    \begin{cases}x=-y\\ z=0\end{cases}

    e poniamo y=t, ricavando così la seguente parametrizzazione

    \begin{cases}x=-t\\ y=t\\ z=0\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    da cui si deducono immediatamente sia il punto di passaggio P_{s}, sia il vettore direttore associato \mathbf{v}_{s}

    P_{s}(0,0,0) \ \ \ , \ \ \ \mathbf{v}_{s}=(-1,1,0)

    A questo punto determiniamo il vettore \overrightarrow{P_{r}P_{s}}, avente per componenti la differenza tra le  coordinate omonime del punto P_{s} e quelle di P_{r}

    \\ \overrightarrow{P_{r}P_{s}}=(x_{P_{s}}-x_{P_{r}}, \ y_{P_{s}}-y_{P_{r}}, \ z_{P_{s}}-z_{P_{r}})= \\ \\ =(0-1,\ 0-1,\ 0-0)=(-1,-1,0)

    Se \overrightarrow{P_{r}P_{s}}, \mathbf{v}_{r} e \mathbf{v}_{s} sono vettori linearmente indipendenti, allora r,s sono rette sghembe, e viceversa.

    Questa osservazione ci permette di analizzare il problema dal punto di vista algebrico, infatti la lineare indipendenza dei tre vettori è garantita nel momento in cui la matrice avente per righe i tre vettori ha determinante non nullo.

    Impostiamo quindi il determinante:

    \mbox{det}\begin{pmatrix}-1&-1&0\\ 1&2&1\\ -1&1&0\end{pmatrix}=

    e calcoliamolo sviluppandolo con la regola di Laplace lungo la terza colonna

    =-1\cdot\mbox{det}\begin{pmatrix}-1&-1\\ -1&1\end{pmatrix}=-1\cdot [-1-1]=2\ne 0

    Data la non nullità del determinante, il vettori \overrightarrow{P_{r}P_{s}},\mathbf{v}_{r},\mathbf{v}_{s} sono linearmente indipendenti, pertanto le rette r,s sono sghembe.

    Risposta di Ifrit
 
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