Altezza prisma

L'altezza del prisma si calcola dividendo il volume per l'area della superficie di base, ossia come h=V/S_b; è il segmento che parte da un qualsiasi vertice della faccia superiore del prisma e che cade perpendicolarmente sul piano che contiene la base.

Nel caso di un prisma retto, e quindi di un prisma regolare, l'altezza del prisma coincide con ciascuno degli spigoli laterali e la sua misura si può calcolare dividendo l'area della superficie laterale per il perimetro di base, ossia come h=S_lat/2p.

Altezza di un prisma retto.	Altezza di un prisma obliquo.

Formule per l'altezza del prisma

La misura dell'altezza di un prisma si può calcolare con le formule elencate nella tabella sottostante. La prima vale per qualsiasi tipo di prisma (retto, regolare od obliquo), la seconda solo per i prismi retti e per i prismi regolari.

Indichiamo con l'altezza del prisma, con il volume, con l'area di base, con il perimetro di base e con l'area della superficie laterale.

Per una tabella con tutte le formule del prisma ti rimandiamo alla lezione del link.

Esercizi svolti sull'altezza del prisma

Passiamo ad alcuni problemi risolti sul calcolo dell'altezza del prisma, sia nel caso obliquo che in quello retto e regolare. Ogni svolgimento è corredato da tutti i calcoli e dai passaggi necessari per arrivare alla soluzione.

1) Il volume di un prisma triangolare obliquo è di 720 cm³. Calcolare la misura dell'altezza del prisma sapendo che i poligoni di base sono triangoli rettangoli i cui cateti misurano 8 cm e 15 cm.

Svolgimento: consideriamo un prisma triangolare obliquo che ha come basi due triangoli rettangoli.

Sappiamo che il volume del prisma è di 720 cm³

e che i due cateti del triangolo di base misurano 8 cm e 15 cm

Con queste informazioni possiamo trovare l'area di base del prisma, che corrisponde all'area del triangolo rettangolo e che è data dal semiprodotto delle misure dei cateti

e di conseguenza calcolare la misura dell'altezza del prisma, dividendo il volume per l'area di base

L'altezza del prisma è quindi di 12 cm.

2) Una delle dimensioni di base di un prisma rettangolare retto misura 7 dm, l'area della superficie totale è di 172 dm² e l'area della superficie laterale è di 144 dm². Calcolare la misura dell'altezza del prisma.

Svolgimento: indichiamo con le due dimensioni del rettangolo alla base del prisma. È noto che una delle due, ad esempio , è di 7 dm

Conosciamo anche l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale del prisma

Poiché il prisma è retto, per calcolare la misura dell'altezza usiamo la formula

ma ci manca il perimetro di base. Per trovarlo ci serve la misura dell'altra dimensione del rettangolo.

Calcoliamo l'area di base del prisma dividendo per 2 la differenza tra l'area della superficie totale e l'area della superficie laterale. In caso di dubbi ricordiamo che l'area del prisma è data dalla somma tra l'area della superficie laterale e il doppio dell'area di base

per cui

è l'area di un rettangolo, dunque è pari al prodotto tra le dimensioni del rettangolo

Poiché conosciamo , possiamo trovare

e usarla per calcolare il perimetro di base (perimetro del rettangolo)

Abbiamo tutto quel che serve per trovare la misura dell'altezza del prisma

3) Calcolare l'altezza di un prisma regolare a base esagonale di cui è noto che lo spigolo di base misura 5 metri e che l'area della superficie totale è di 309,9 metri quadrati.

Svolgimento: dai dati forniti dalla traccia conosciamo la misura dello spigolo di base di un prisma esagonale regolare

e l'area della superficie totale del prisma

Dalla misura dello spigolo di base possiamo calcolare:

- l'area di base, che è l'area di un esagono regolare, e che quindi si calcola moltiplicando il quadrato dello spigolo per la costante d'area φ=2,598

- il perimetro di base (perimetro dell'esagono) moltiplicando la misura dello spigolo per 6

Per applicare la formula per l'altezza del prisma regolare

ci manca l'area della superficie laterale, che però possiamo calcolare come differenza tra l'area della superficie totale e il doppio dell'area di base

Troviamo infine l'altezza del prisma

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Per altri problemi svolti puoi consultare la scheda di esercizi sul prisma, oppure usare la barra di ricerca interna. ;)