Soluzioni
  • Ci troviamo di fronte a quella che è pur sempre una disequazione logaritmica.

    Bisogna aggiungere le condizioni di esistenza del logaritmo: l'argomento deve essere maggiore di zero, quindi dobbiamo imporrre due condizioni:

    - argomento del logaritmo in base 2 maggiore di zero;

    - argomento del logaritmo in base 1/3 maggiore di zero.

    Entrambe le condizioni vanno messe a sistema

    \begin{cases}x-5>0\\ \log_{\frac{1}{3}}{(x-5)}>0\end{cases}

    Vediamo come risolvere il sistema di disequazioni: la prima è una disequazione lineare facile facile, mentre la seconda è una disequazione logaritmica, anch'essa immediata. Attenzione che bisogna invertire il simbolo perché la base del logaritmo è minore di 1

    \begin{cases}x>5\\ x-5<1\end{cases}

    ossia

    \begin{cases}x>5\\ x<6\end{cases}\ \to\ \mbox{CE:}\ 5<x<6

    Ora occupiamoci della disequazione

    \log_{2}{\log_{\frac{1}{3}}{(x-5)}}>0

    Riscriviamo nella forma

    \log_{2}{\log_{\frac{1}{3}}{(x-5)}}>\log_{2}{(1)}

    ed eliminiamo i logaritmi in base 2: non ci sono problemi perché la base è maggiore di 1, quindi il segno di disequazione non cambia.

    Ora abbiamo

    \log_{\frac{1}{3}}{(x-5)}>1

    che riscriviamo, grazie alla definizione di logaritmo, nella forma

    \log_{\frac{1}{3}}{(x-5)}>\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}

    Ora possiamo eliminare i logaritmi a patto di invertire il segno di disequazione, perché i due logaritmi sono in base 1/3 che è minore di 1.

    Rimane

    x-5<\frac{1}{3}

    ossia

    x<\frac{16}{3}

    A questo punto mettiamo a sistema le soluzioni con le condizioni di esistenza

    \begin{cases}5<x<6\\ x<\frac{16}{3}\end{cases}\ \to\ \mbox{Soluzioni:}\ 5<x<\frac{16}{3}

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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