Soluzioni
  • Prima di buttarci a capofitto nello studio di:

    I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2(x)}dx

    è importante prendersi qualche secondo di tempo per estrapolare il maggior numero di informazioni dall'integrale.

    Consideriamo l'integranda

    f(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}

    essa è una funzione continua nel dominio di integrazione \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) che risulta essere un intervallo limitato.

    Essa presenta, però, due punti problematici agli estremi di integrazione, infatti quando x\to \pm\frac{\pi}{2} si ha che

    \lim_{x\to \pm\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2(x)}=+\infty

    perché la funzione coseno al quadrato tende a 0^{+} quando x\to\pm\frac{\pi}{2}.

    Possiamo quindi asserire che x=\pm\frac{\pi}{2} sono punti di discontinuità di seconda specie per f(x) e dunque essa è una funzione illimitata nell'intervallo considerato.

    Abbiamo gli elementi per classificare correttamente I: esso è un integrale improprio di seconda specie, con due punti problematici agli estremi del dominio di integrazione.

    Per semplificare lo studio della convergenza, fissiamo x_0\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) e sfruttiamo la proprietà additiva degli integrali (per approfondire additività e linearità degli integrali)

    I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x_0}\frac{1}{\cos^2(x)}dx+\int_{x_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2(x)}dx

    Cosa abbiamo fatto? Abbiamo espresso l'integrale come somma di due integrali impropri di seconda specie ognuno dei quali presenta una ed una sola singolarità. Se entrambi gli integrali convergono, allora convergerà l'integrale I.

    Possiamo seguire due strategie risolutive che conducono comunque alla stessa conclusione: la prima consiste nel determinare i valori dei due integrali mediante la definizione stessa di integrale improprio, la seconda consiste nell'usare i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie.

    Procediamo con il primo metodo: dobbiamo calcolare esplicitamente i due integrali

    I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x_0}\frac{1}{\cos^2(x)}dx \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ I_2=\int_{x_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2(x)}dx

    Per definizione di integrale improprio di seconda specie si ha che

    I_1=\lim_{m\to -\frac{\pi}{2}}\int_{m}^{x_0}\frac{1}{\cos^2(x)}dx=

    L'integrale è immediato perché \frac{1}{\cos^2(x)} è esattamente la derivata della tangente, pertanto

    \\ =\lim_{m\to -\frac{\pi}{2}}[\tan(x)]_{m}^{x_0}= \\ \\ \\ = \lim_{m\to -\frac{\pi}{2}}(\tan(x_0)-\tan(m))=+\infty

    Poiché il limite esiste ma non è finito allora I_1 diverge positivamente.

    Procediamo allo stesso modo per I_2

    \\ I_2=\lim_{M\to +\frac{\pi}{2}}\int_{x_0}^{M}\frac{1}{\cos^2(x)}dx= \\ \\ \\ = \lim_{M\to +\frac{\pi}{2}}[\tan(x)]_{x_0}^{M}= \\ \\ \\ =\lim_{M\to +\frac{\pi}{2}}(\tan(M)-\tan(x_0))=+\infty

    Anche il secondo integrale diverge positivamente, e poiché I=I_1+I_2 (ossia è somma di infiniti positivi) allora I diverge positivamente.

    ***

    Procediamo con il secondo metodo: consiste nell'analizzare il comportamento asintotico dell'integranda in prossimita dei punti singolari. Per farlo è sufficiente sviluppare in serie di Taylor la funzione \cos^2(x) al secondo ordine. Per x\to -\frac{\pi}{2} abbiamo:

    \cos^2(x)=\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2+o\left(\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\right)

    dove con o\left( \ \cdot \ \right) indichiamo l'o-piccolo.

    Come abbiamo ottenuto lo sviluppo per x\to -\frac{\pi}{2}? La risposta è un po' contorta ma vale la pena vederla perché può tornare utile l'idea che c'è dietro:

    - poniamo t=x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\implies x=t-\frac{\pi}{2} ed osserviamo che quando x\to -\frac{\pi}{2} si ha che t\to 0;

    - in \cos^2(x) sostituiamo a x il termine t-\frac{\pi}{2} così da avere l'identità

    \cos^2(x)=\cos^2\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=

    che grazie alle formule per gli angoli associati, si riscrive come:

    =\sin^2(t)

    In definitiva abbiamo ottenuto l'uguaglianza

    \cos^2\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\sin^2(t)

    che ci permette di sfruttare lo sviluppo notevole della funzione seno per t\to 0 (si veda - tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin) per determinare quello di \cos^2\left(x\right).

    Sappiamo che lo sviluppo del seno al primo ordine è 

    \sin(t)=t+o(t)

    da cui elevando al quadrato membro a membro

    \\ \sin^2(t)=(t+o(t))^2= \\ \\ =t^2+[o(t)]^2+2t [o(t)]=(\bullet)

    Grazie all'algebra degli o-piccolo si ha che [o(t)]^2= o(t^2)\mbox{ e }2t[o(t)]=o(t^2), di conseguenza

    (\bullet)=t^2+o(t^2)

    Ripristiniamo la variabile x tenendo a mente che t=x+\frac{\pi}{2}

    \sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2+o\left[\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\right]

    ossia

    \cos^2\left(x\right)=\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2+o\left[\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2\right]

    pertanto per le proprietà delle equivalenze asintotiche si ha che:

    \cos^2(x)\sim_{x\to -\frac{\pi}{2}}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^{2}

    Perfetto, ora abbiamo a disposizione gli strumenti per esprimere una stima asintotica dell'integranda f(x) in prossimità di -\frac{\pi}{2}:

    \frac{1}{\cos^2(x)}\sim_{x\to -\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2}

    e poiché

    \int_{-\frac{\pi}{2}}^{x_0}\frac{1}{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2}dx

    è un integrale improprio notevole divergente possiamo asserire che diverge anche

    \int_{-\frac{\pi}{2}}^{x_0}\frac{1}{\cos^2(x)}dx

    Procedendo in modo simile per x\to \frac{\pi}{2} otteniamo la stima asintotica

    \frac{1}{\cos^2(x)}\sim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}

    e poiché

    \int_{x_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}dx

    diverge positivamente allora divergerà positivamente anche l'integrale

    \int_{x_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2(x)}dx

    In conclusione

    \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2(x)}dx

    diverge positivamente perché somma di integrali positivamente divergenti.

    Risposta di Ifrit
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