Soluzioni
  • Ciao Ely :)

    Disegniamoci un triangolo equilatero ABC di lato \ovelrine{AB}=\ell. Dal vertice A tracciamo poi una semiretta che interseca il lato opposto \overline{BC} e, su tale semiretta, fissiamo un punto P tale che AP=\ell. Uniamo poi B con P. Si viene così a formare un nuovo triangolo ABP del quale dobbiamo determinare l'ampiezza degli angoli interni (che ho chiamato Φ, β e ψ.

     

    Problema di trigonometria con triangolo equilatero

     

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che 

    AB=AP=\ell

    da cui ne segue che il triangolo ABP è un triangolo isoscele di base BP. Poiché un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali:

    \hat{\beta}=\hat{\psi}.

    Inoltre l'area del triangolo equilatero è data da:

    S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2

    e, sapendo che

    S_{ABC}=\sqrt{3}S_{ABP}

    Possiamo ricavare l'area del triangolo ABP che è data da

    S_{ABP}=\frac{1}{\sqrt{3}}S_{ABC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2 = \frac{1}{4}\ell^2

    Ora, per il teorema sull'area dei triangoli qualsiasi

    S_{ABP}=\frac{\overline{AB} \cdot \overline{AP}}{2}\sin(B\hat{A}P)=\frac{\ell^2}{2}\cdot \sin(\phi)

    Uguagliando le ultime due relazioni abbiamo

    \frac{1}{4}\ell^2=\frac{\ell^2}{2}\cdot \sin(\phi)

    da cui

    \sin(\phi)=\frac{1}{4}\ell^2\cdot \frac{2}{\ell^2}=\frac{1}{2}

    Ricordando che il seno di 30 è uguale ad 1/2 abbiamo che

    \phi=30^{\circ}

    Infine, avendo già osservato che \hat{\beta}=\hat{\psi}, essendo la somma degli angoli interno di un triangolo uguale a 180°, l'ampiezza di tali angoli è data da

    \hat{\beta}=\hat{\psi}=[180^{\circ}-\hat{\phi}}]:2=[180^{\circ}-30^{\circ}]:2=75^{\circ}

    Risposta di Galois
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