Soluzioni
  • Premetto che nella lezione come calcolare gli sviluppi di Taylor c'è un intero capitoletto dedicato al calcolo dello sviluppo per funzioni composte, con relativi esempi.

    Vogliamo calcolare lo sviluppo della seguente funzione con centro x_0=0

    \\ f(x)=g(y)=g(h(x))=e^{\cos(x)}\\ \\ y=h(x)=\cos(x)\\ \\ z=g(y)=e^y

    Nel nostro caso l'idea di sfruttare gli sviluppi di Taylor notevoli è ottima, ma il punto delicato è che devi prestare attenzione al centro di sviluppo della prima funzione in ordine di composizione.

    x\ \overbrace{\to}^{h}\ y=h(x)\ \overbrace{\to}^{g}\ z=g(y)=g(h(x))

    Per procedere svilupperemo entrambe le funzioni al medesimo ordine per poi sostituire lo sviluppo della prima funzione in ordine di composizione [h(x)] al posto della variabile y nello sviluppo della seconda funzione in ordine di composizione [g(y)]

    Consideriamo la prima funzione in ordine di composizione

    h(x)=\cos{(x)}

    e sviluppiamola con centro x_0=0, diciamo fino al secondo ordine:

    h(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    Ora attenzione: per sviluppare in serie di Taylor la seconda funzione in ordine di composizione

    g(y)=e^y

    dobbiamo considerare come centro dello sviluppo l'immagine del centro x_0=0 mediante la prima funzione in ordine di composizione h(x).

    Da quanto hai scritto, l'errore che hai commesso è stato proprio considerare x_0=0 come centro di sviluppo per entrambe le funzioni nella composizione.

    Dunque svilupperemo la seconda funzione in ordine di composizione g(y)=e^y con centro

    y_0=h(x_0)\ \to\ y_0=h(0)=\cos(0)=1

    Ora scriviamo lo sviluppo di g(y) in y_0=1 fino al secondo ordine:

    g(y)=e+e(y-1)+\frac{1}{2}e(y-1)^2+o((y-1)^2)

    A questo punto non resta che sostituire lo sviluppo di y=h(x) al posto di y nello sviluppo di z=g(y)

    \\ g(h(x))=e+e\left(\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-1\right)+\\ \\ \\ +\frac{1}{2}e\left(\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-1\right)^2+o\left(\left(\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-1\right)^2\right)

    In questo frangente ci torneranno sicuramente utili le regole dell'algebra degli o-piccolo.

    Morale: in questo tipo di esercizi bisogna fare attenzione al centro dello sviluppo: si parla di funzioni composte e bisogna tenere conto dell'immagine del centro di sviluppo mediante la prima funzione in ordine di composizione! ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • PERFETTO! Nessuno mi aveva mai avvertito di dover sviluppare la seconda funzione nell'immagine della prima, era questo che non tornava! Grazie mille volte!

    Risposta di Neumann
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