Soluzioni
  • Ciao francyviola :)

    Abbiamo una piramide regolare (click per le formule) che ha come base un quadrato e come faccia laterale un triangolo isoscele. Diciamo L il suo lato (che coincide con lo spigolo della piramide) e B la sua base (che coincide con il lato del quadrato che forma la base della piramide). Avendo a che fare con un triangolo isoscele possiamo esprimere il suo perimetro come

    B+L+L=180 \mbox{ cm}

    Inoltre, grazie ai dati forniti dal problema sappiamo che

    L=\frac{13}{10}B

    Per trovare la misura di L e di B ci basta andare a sostituire quest'ultima relazione nella prima

    B+\underbrace{\frac{13}{10}B}_{L}+\underbrace{\frac{13}{10}B}_{L}=180 \mbox{ cm}

    ricadendo così in un'equazione di primo grado nell'incognita B

    B+\frac{13}{10}B+\frac{13}{10}B=180 \mbox{ cm}

    Eseguiamo ora la somma a primo membro calcolando il denominatore comune

    \frac{10B+13B+13B}{10}=180 \mbox{ cm}

    \frac{36}{10}B=180 \mbox{ cm}

    B=\frac{10}{36}\times 180 = 50 \mbox{ cm}

    Di conseguenza

    L=\frac{13}{10}B=\frac{13}{10}\times 50 = 65 \mbox{ cm}

    Ora, l'area della superficie totale della piramide è data dalla somma tra l'area della superficie di base e l'area della superficie laterale

    S_{tot}=S_{base}+S_{lat}

    Poiché, come già osservato, la base della piramide è un quadrato di lato B=50 \mbox{ cm}, la sua area è data da

    S_{base}=B^2=50^2=2500 \mbox{ cm}^2

    L'area della superficie laterale si ottiene invece da

    S_{lat}=2p_{base} \times \frac{a}{2}

    dove a indica l'apotema della piramide che coincide con l'altezza del triangolo isoscele che ne forma la faccia laterale. Possiamo quindi ricavarne la misura sfruttando il teorema di Pitagora

    a=\sqrt{L^2-\left(\frac{B}{2}\right)^2}=\sqrt{4225-625}=\sqrt{3600}=60 \mbox{ cm}

    Abbiamo allora

    S_{lat}=2p_{base} \times \frac{a}{2}=\underbrace{4\times 50}_{2p_{base}} \times \frac{60}{2}=200 \times 30 = 6000 \mbox{ cm}^2

    Possiamo a questo punto concludere che

    S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=2500+6000=8500 \mbox{ cm}^2

    Risposta di Omega
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