Soluzioni
  • Per poter applicare il teorema degli zeri abbiamo bisogno prima di tutto dell'espressione analitica della funzione, che possiamo estrapolare dall'equazione

    \cos(2x)+3x-2=0

    Nel caso in esame, infatti, la legge della funzione f(x) è data dal primo membro dell'equazione, ossia

    f(x)=\cos(2x)+3x-2

    Essa è una funzione continua su tutto l'asse reale perché composizione di funzioni continue. Bene! Non ci resta che determinare un intervallo chiuso e limitato [a,b] di modo che risulti

    f(a)\cdot f(b)<0

    ossia che i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo siano discordi. Con un po' di tentativi, un intervallo che fa al caso nostro è

    \left[0,\frac{\pi}{2}\right]

    Osserviamo infatti che la funzione valutata agli estremi del dominio vale:

    f(0)=-1<0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-3+\frac{3\pi}{2}>0

    pertanto il prodotto f(0)\cdot f\left(\frac{\pi}{2}\right) è negativo, come vuole il teorema degli zeri.

    Il teorema di Bolzano (altro nome per il teorema degli zeri) è applicabile nell'intervallo scelto, di conseguenza esiste (almeno) un punto c\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] tale che f(c)=0,. Ciò significa che l'equazione di partenza è soddisfatta per tale valore.

    Per dimostrare che è unica in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] è necessario studiare la monotonia della funzione mediante l'analisi del segno della derivata prima

    f'(x)=3-2\sin(2x)

    ottenuta usando la regola di derivazione della somma in combinazione con la regola di derivazione della funzione composta.

    Osserviamo che la funzione seno soddisfa la doppia disuguaglianza

    -1\le\sin(2x)\le 1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Moltiplicando i tre membri per il numero negativo -2 otteniamo una disuguaglianza equivalente (attenzione ai versi!)

    -2\le -2\sin(2x)\le 2 \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

    Sommando 3 membro a membro otteniamo

    1\le3-2\sin(2x)\le5 \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

    Da ciò scopriamo che la derivata prima della funzione è sempre positiva e in accordo con i teoremi sulla monotonia di funzioni derivabili, scopriamo che f(x) è monotona strettamente crescente. La monotonia stretta della funzione f(x) assicura la sua iniettività e l'iniettività di f(x) garantisce l'unicità della soluzione dell'equazione.

    Risposta di Ifrit
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