Esercizio sul teorema degli zeri

Per poter applicare il teorema degli zeri abbiamo bisogno prima di tutto dell'espressione analitica della funzione, che possiamo estrapolare dall'equazione

Nel caso in esame, infatti, la legge della funzione è data dal primo membro dell'equazione, ossia

Essa è una funzione continua su tutto l'asse reale perché composizione di funzioni continue. Bene! Non ci resta che determinare un intervallo chiuso e limitato di modo che risulti

ossia che i valori che la funzione assume agli estremi dell'intervallo siano discordi. Con un po' di tentativi, un intervallo che fa al caso nostro è

Osserviamo infatti che la funzione valutata agli estremi del dominio vale:

pertanto il prodotto è negativo, come vuole il teorema degli zeri.

Il teorema di Bolzano (altro nome per il teorema degli zeri) è applicabile nell'intervallo scelto, di conseguenza esiste (almeno) un punto tale che . Ciò significa che l'equazione di partenza è soddisfatta per tale valore.

Per dimostrare che è unica in è necessario studiare la monotonia della funzione mediante l'analisi del segno della derivata prima

ottenuta usando la regola di derivazione della somma in combinazione con la regola di derivazione della funzione composta.

Osserviamo che la funzione seno soddisfa la doppia disuguaglianza

Moltiplicando i tre membri per il numero negativo -2 otteniamo una disuguaglianza equivalente (attenzione ai versi!)

Sommando 3 membro a membro otteniamo

Da ciò scopriamo che la derivata prima della funzione è sempre positiva e in accordo con i teoremi sulla monotonia di funzioni derivabili, scopriamo che è monotona strettamente crescente. La monotonia stretta della funzione assicura la sua iniettività e l'iniettività di garantisce l'unicità della soluzione dell'equazione.