Ruffini per scomporre un polinomio con due parametri

È la prima volta che faccio esercizi con il metodo di Ruffini, però non ci capisco nulla. Dovrei determinare i valori di due parametri di un polinomio di terzo grado, in modo che esso rispetti due condizioni sui resti. Forse è meglio se scrivo il testo esatto.

Dato il polinomio P(x) = ax^3+bx^2+2x−1, determinare i valori dei parametri a e b sapendo che la divisione di P(x) con (x+1) è esatta, mentre la divisione di P(x) per (x−1) dà resto 3.

Grazie mille.

Domanda di marklycons
Soluzione

La risoluzione dell'esercizio prevede di sfruttare le condizioni sui resti grazie alle quali ricaveremo i parametri a e b del polinomio

P(x) = ax^3+bx^2+2x−1

Esistono due strategie risolutive differenti: la prima è leggermente più elaborato dal punto di vista del calcolo e consiste nell'utilizzare la regola di Ruffini per ricavare il resto delle divisioni in termini di a e b; la seconda, più diretta, si avvale del teorema del resto che, come vedremo, permette di limitare il numero di passaggi.

Risoluzione con il metodo di Ruffini

La regola di Ruffini consente di determinare il quoziente e il resto di una divisione tra un polinomio e un binomio del tipo x−α dove α è l'opposto del termine noto.

Iniziamo con il calcolo del resto della divisione di P(x) per x+1. Costruiamo la tipica tabella di Ruffini e disponiamo sulla prima riga i coefficienti di P(x), ordinati secondo le potenze decrescenti di x, mentre riportiamo l'opposto del termine noto del binomio x+1, ossia -1.

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 ; hline

Trasportiamo in basso a

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 ; hline a

moltiplichiamola per -1 e riportiamo il prodotto sotto b

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 −a ; hline a

Addizioniamo tra loro b e −a, riportando il risultato sotto la linea di separazione orizzontale

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 −a ; hline a b−a

Iteriamo il ragionamento: moltiplichiamo −1 e b−a e incolonniamo il prodotto sotto il 2

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 −a −b+a ; hline a b−a

Riportiamo la somma di 2 e −b+a sotto la linea orizzontale

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 −a −b+a ; hline a b−a 2−b+a

Infine moltiplichiamo 2−b+a e −1, riportiamo il prodotto sotto l'ultimo termine della prima riga e sommiamo

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ;−1 −a −b+a −2+b−a ; hline a b−a 2−b+a b−a−3

L'ultimo elemento della terza riga rappresenta il resto della divisione

(ax^3+bx^2+2x−1):(x+1)

dunque R = b−a−3. Poiché la divisione è esatta, necessariamente il resto R dovrà essere pari a 0: otteniamo quindi la prima relazione utile:

R = 0 → b−a−3 = 0 → b−a = 3

Teniamola a mente e continuiamo la risoluzione che richiede di sfruttare la seconda informazione che l'esercizio fornisce, vale a dire:

la divisione di P(x) per (x−1) dà resto 3.

Il resto di

(ax^3+bx^2+2x−1):(x−1)

può essere tranquillamente calcolato con la tabella di Ruffini, che per l'occasione diventa

c|ccccc|c a b 2 −1 ; ; 1 a b+a b+a+2 ; hline a b+a b+a+2 b+a+1

Grazia alla tabella, scopriamo che il resto della divisione polinomiale è R = b+a+1 e proprio perché il testo dice che vale 3, scriviamo la relazione

R = 3 → b+a+1 = 3 → b+a = 2

I passaggi hanno quindi fornito due equazioni in due incognite

b−a = 3 , b+a = 2

che formano il seguente sistema lineare proprio perché devono valere contemporaneamente:

b−a = 3 ; b+a = 2

Procediamo con il metodo di sostituzione, ricaviamo b dalla prima equazione e sostituendo nella seconda

b = a+3 ; a+3+a = 2 → 2a = −1

Determiniamo infine a dalla seconda e rimpiazziamo nella prima equazione

b = a+3 → b = −(1)/(2)+3 = (5)/(2) ; a = −(1)/(2)

I parametri richiesti sono quindi

a = −(1)/(2) e b = (5)/(2)

Risoluzione con il teorema del resto

Il teorema del resto consente di risolvere l'esercizio in maniera molto più semplice perché fornisce una formula diretta con cui calcolare i resti delle divisioni.

Ricordiamo che il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio x−c coincide con la valutazione di P(x) per x = c.

Alla luce dell'enunciato, il resto tra il polinomio

P(x) = ax^3+bx^2+2x−1

e il binomio (x+1) si ricava valutando P(x) per l'opposto del termine noto del binomio, ossia per x = −1

R_1 = P(−1) = a(−1)^3+b(−1)^2+2(−1)−1 = −a+b−3

e poiché la divisione è esatta, necessariamente R_1 = 0, da cui

b−a−3 = 0 → b−a = 3

Il resto della divisione tra il polinomio P(x) e il binomio (x−1) si ricava valutando il polinomio per x = 1

R_2 = P(1) = a·1^3+b·1^2+2·1−1 = a+b+1

In questo caso, il resto della divisione è 3, di conseguenza

R_2 = 3 → a+b+1 = 3 → b+a = 2

È fatta! Basta infatti impostare e risolvere il sistema

b−a = 3 → a = −(1)/(2) ; b+a = 2 → b = (5)/(2)

da cui ricaviamo i valori da attribuire ai parametri.

Esercizio risolto.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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