Limite fratto e forma indeterminata 0/0

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Devo calcolare un limite fratto che genera una forma indeterminata 0 su 0 e ho grandi dubbi su come calcolarlo

 

lim_(x → 0^(-))(x^3)/((x^2+1)^(4)-1)

 

Per risolverlo, posso fare il confronto tra infinitesimi, oppure devo applicare de l'Hopital? Svolgendolo con entrambi i metodi mi vengono risultati diversi. Mi aiutate a capire?

Domanda di mery

 
Soluzione

  • Sebbene il limite si possa risolvere applicando il teorema di de l'Hopital, proponiamo due strategie risolutive diverse: una puramente algebrica, mentre l'altra richiede un piccolo stratagemma. Iniziamo!

    Il limite sinistro

    lim_(x → 0^(-))(x^3)/((x^2+1)^4-1)

    si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] che possiamo risolvere in due modi.

    Primo metodo

    Sviluppiamo la potenza di binomio al denominatore e sommiamo tra loro i termini simili

    (x^2+1)^4-1 = x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1-1 = x^8+4x^6+6x^4+4x^2 =

    A questo punto possiamo effettuare il raccoglimento totale del termine x^2

    = x^2(x^6+4x^4+6x^2+4)

    Fatto ciò rimpiazziamo l'ultima espressione nel limite, semplifichiamo e calcoliamo il limite per sostituzione diretta

    lim_(x → 0^(-))(x^3)/((x^2+1)^4-1) = lim_(x → 0^(-))(x^3)/(x^2(x^6+4x^4+6x^2+4)) = lim_(x → 0^(-))(x)/(x^2+4x^4+6x^2+4) = (0)/(4) = 0

    Secondo metodo

    Il secondo metodo consiste nell'utilizzare il limite notevole in forma generale

    lim_(h(x) → 0)((1+h(x))^(c)-1)/(h(x)) = c

    applicabile ogniqualvolta che la base della potenza di binomio (1+h(x))^c tende a 1. Al fine di ricondurci al limite notevole in forma generale, moltiplichiamo e dividiamo per x^2 il denominatore del limite iniziale

    lim_(x → 0^(-))(x^3)/((x^2+1)^4-1) = lim_(x → 0^(-))(x^3)/(x^2·((x^2+1)^(4)-1)/(x^2)) =

    Semplifichiamo x^3 con x^2

    = lim_(x → 0^(-))(x)/(((x^2+1)^4-1)/(x^2)) =

    e poiché il denominatore tende a 4, per via del limite notevole, scriveremo:

    = lim_(x → 0^(-))(x)/(4) = 0

    Il risultato del limite si ottiene per sostituzione diretta o detto in altri termini applicando a dovere l'algebra dei limiti.

    Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
    Ultima modifica:

 
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