Soluzioni
  • Sebbene il limite si possa risolvere applicando il teorema di de l'Hopital, proponiamo due strategie risolutive diverse: una puramente algebrica, mentre l'altra richiede un piccolo stratagemma. Iniziamo!

    Il limite sinistro

    \lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^3}{(x^2+1)^4-1}

    si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere in due modi.

    Primo metodo

    Sviluppiamo la potenza di binomio al denominatore e sommiamo tra loro i termini simili

    \\ (x^2+1)^4-1=x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1-1= \\ \\ =x^8+4x^6+6x^4+4x^2=

    A questo punto possiamo effettuare il raccoglimento totale del termine x^2

    =x^2(x^6+4x^4+6x^2+4)

    Fatto ciò rimpiazziamo l'ultima espressione nel limite, semplifichiamo e calcoliamo il limite per sostituzione diretta

    \\ \lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^3}{(x^2+1)^4-1}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^3}{x^2(x^6+4x^4+6x^2+4)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{x^2+4x^4+6x^2+4}=\frac{0}{4}=0

    Secondo metodo

    Il secondo metodo consiste nell'utilizzare il limite notevole in forma generale

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{(1+h(x))^{c}-1}{h(x)}=c

    applicabile ogniqualvolta che la base della potenza di binomio (1+h(x))^c tende a 1. Al fine di ricondurci al limite notevole in forma generale, moltiplichiamo e dividiamo per x^2 il denominatore del limite iniziale

    \lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^3}{(x^2+1)^4-1}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^3}{x^2\cdot\frac{(x^2+1)^{4}-1}{x^2}}=

    Semplifichiamo x^3 con x^2

    =\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{\frac{(x^2+1)^4-1}{x^2}}=

    e poiché il denominatore tende a 4, per via del limite notevole, scriveremo:

    =\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{4}=0

    Il risultato del limite si ottiene per sostituzione diretta o detto in altri termini applicando a dovere l'algebra dei limiti.

    Risposta di Ifrit
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