Soluzioni
  • Una base ortonormale è una base ortogonale in cui tutti i vettori hanno norma unitaria rispetto a un fissato prodotto scalare.

    Per dare una definizione di base ortonormale più rigorosa abbiamo bisogno di uno spazio vettoriale V di dimensione n definito su R e di un prodotto scalare definito positivo su V.

    Una base mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n di V è una base ortonormale se e solo se:

    - i vettori che la definiscono sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare langle , rangle;

    - ciascun vettore della base ha norma 1.

    In formule:

     mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n base ortonormale di V ⇔ ; langle v_i , v_j rangle = 0 per ogni i ≠ j, con i,j ∈ 1,2,...,n ; ||v_i||: = √(langle v_i, v_i rangle) = 1 per ogni i ∈ 1,2,...,n

    All'atto pratico, per verificare se è una base è ortonormale è sufficiente controllare se è formata da vettori ortogonali a due a due, e se la norma indotta dal prodotto scalare di ciascun vettore della base è 1.

    Esempi

    1) Per ogni numero naturale n > 2, la base canonica di R^n

     mathcalC = e_1, e_2, ..., e_n dove ; e_1 = (1,0,...,0,0) ; e_2 = (0,1,...,0,0) ; ... ; e_(n-1) = (0,0,...,1,0) ; e_n = (0,0,...,0,1)

    è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare euclideo ·, infatti

    e_i·e_j = 0 per ogni i ≠ j

    e la norma di ciascun vettore è 1

    ||e_i|| = 1 per ogni i ∈ 1,2,...,n

    2) La base mathcalB definita da

     mathcalB = v_1, v_2, con ; v_1 = ((1)/(√(2)),-(1)/(√(2))) ; v_2 = ((1)/(√(2)), (1)/(√(2)))

    è una base ortonormale di R^2 rispetto al prodotto scalare euclideo, tant'è vero che

    - v_1, v_2 è un insieme formato da 2 vettori linearmente indipendenti di R^2, e quindi ne costituisce una base;

    - i due vettori sono ortogonali

    v_1·v_2 = ((1)/(√(2)),-(1)/(√(2)))·((1)/(√(2)), (1)/(√(2))) = ((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))+(-(1)/(√(2)))((1)/(√(2))) = (1)/(2)-(1)/(2) = 0

    - ciascuno di essi ha norma 1

     ||v_1|| = √(((1)/(√(2)))^2+(-(1)/(√(2)))^2) = √((1)/(2)+(1)/(2)) = √(1) = 1 ; ||v_2|| = √(((1)/(√(2)))^2+((1)/(√(2)))^2) = √((1)/(2)+(1)/(2)) = √(1) = 1

    3) Consideriamo il seguente prodotto scalare definito positivo su V = R^3

    langle (x_1, x_2, x_3),(y_1,y_2,y_3) rangle = x_1y_1-x_3y_1+2x_2y_2-x_1y_3+3x_3y_3

    La base mathcalB data da

    mathcalB = (1,0,0), (0, (1)/(√(2)), 0), ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2)))

    è una base ortonormale di R^3 rispetto a langle , rangle.

    Verifichiamolo: poniamo

     v_1 = (x_1,x_2,x_3) = (1,0,0) ; v_2 = (y_1,y_2,y_3) = (0, (1)/(√(2)), 0)

    Il loro prodotto scalare è

     langle v_1, v_2 rangle = Big langle (1,0,0) , (0, (1)/(√(2)), 0) Big rangle = (1)(0)-(0)(0)+2(0)((1)/(√(2)))-(1)(0)+3(0)(0) = 0

    dunque sono ortogonali. Proseguiamo la verifica ponendo

     v_1 = (x_1,x_2,x_3) = (1,0,0) ; v_3 = (y_1,y_2,y_3) = ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2)))

    Svolgiamo il prodotto scalare

     langle v_1, v_3 rangle = Big langle (1,0,0) , ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))) Big rangle = (1)((1)/(√(2)))-(0)((1)/(√(2)))+2(0)(0)-(1)((1)/(√(2)))+3(0)((1)/(√(2))) = (1)/(√(2))-(1)/(√(2)) = 0

    Infine, lasciamo a voi il compito di verificare che anche langle v_2, v_3 rangle = 0

    In definitiva mathcalB è una base ortogonale di R^3 rispetto al prodotto scalare considerato.

    Da ultimo dobbiamo controllare se la norma di ciascun vettore è 1.

     ||v_1|| = √(langle v_1, v_1 rangle) = langle (1,0,0) , (1,0,0) rangle = √((1)(1)-(0)(1)+2(0)(0)-(1)(0)+3(0)(0)) = √(1) = 1 ; ||v_2|| = √(langle v_2, v_2 rangle) = √(Big langle (0, (1)/(√(2)), 0) , (0, (1)/(√(2)), 0) Big rangle) = √((0)(0)-(0)(0)+2((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))-(0)(0)+3(0)(0)) = √(1) = 1 ; ||v_3|| = √(langle v_3, v_3 rangle) = √(Big langle ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))) , ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))) Big rangle) ; = √(((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))-((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))+2(0)(0)-((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))+3((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))) = √((1)/(2)-(1)/(2)-(1)/(2)+(3)/(2)) = √((2)/(2)) = 1

    ***

    In generale una qualsiasi base mathcalB di uno spazio vettoriale V, su cui è stato definito un prodotto scalare definito positivo, può essere ortogonalizzata con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, per poi renderla ortonormale dividendo ciascun vettore per la relativa norma.

    Infine, è bene sapere che il concetto di base ortonormale può essere esteso a spazi vettoriali definiti nel campo C dei numeri complessi a patto di considerare un prodotto hermitiano definito positivo e la relativa norma indotta.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra Lineare