Base ortonormale

Giuseppe Carichino (Galois) - 22/04/2023

La mia domanda riguarda la nozione di base ortonormale. Mi fate capire cos'è una base ortonormale, riportando la definizione formale e mostrandomi qualche esempio?

Soluzione

Una base ortonormale è una base ortogonale in cui tutti i vettori hanno norma unitaria rispetto a un fissato prodotto scalare.

Per dare una definizione di base ortonormale più rigorosa abbiamo bisogno di uno spazio vettoriale di dimensione definito su e di un prodotto scalare definito positivo su .

Una base di è una base ortonormale se e solo se:

- i vettori che la definiscono sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare ;

- ciascun vettore della base ha norma 1.

In formule:

mathcalB = v_1, v_2, ..., v_n base ortonormale di V ⇔ ; langle v_i , v_j rangle = 0 per ogni i ≠ j, con i,j ∈ 1,2,...,n ; ||v_i||: = √(langle v_i, v_i rangle) = 1 per ogni i ∈ 1,2,...,n

All'atto pratico, per verificare se è una base è ortonormale è sufficiente controllare se è formata da vettori ortogonali a due a due, e se la norma indotta dal prodotto scalare di ciascun vettore della base è 1.

Esempi

1) Per ogni numero naturale , la base canonica di

mathcalC = e_1, e_2, ..., e_n dove ; e_1 = (1,0,...,0,0) ; e_2 = (0,1,...,0,0) ; ... ; e_(n-1) = (0,0,...,1,0) ; e_n = (0,0,...,0,1)

è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare euclideo , infatti

e la norma di ciascun vettore è 1

2) La base definita da

mathcalB = v_1, v_2, con ; v_1 = ((1)/(√(2)),-(1)/(√(2))) ; v_2 = ((1)/(√(2)), (1)/(√(2)))

è una base ortonormale di rispetto al prodotto scalare euclideo, tant'è vero che

- è un insieme formato da 2 vettori linearmente indipendenti di , e quindi ne costituisce una base;

- i due vettori sono ortogonali

v_1·v_2 = ((1)/(√(2)),-(1)/(√(2)))·((1)/(√(2)), (1)/(√(2))) = ((1)/(√(2)))((1)/(√(2)))+(-(1)/(√(2)))((1)/(√(2))) = (1)/(2)-(1)/(2) = 0

- ciascuno di essi ha norma 1

||v_1|| = √(((1)/(√(2)))^2+(-(1)/(√(2)))^2) = √((1)/(2)+(1)/(2)) = √(1) = 1 ; ||v_2|| = √(((1)/(√(2)))^2+((1)/(√(2)))^2) = √((1)/(2)+(1)/(2)) = √(1) = 1

3) Consideriamo il seguente prodotto scalare definito positivo su

La base data da

è una base ortonormale di rispetto a .

Verifichiamolo: poniamo

v_1 = (x_1,x_2,x_3) = (1,0,0) ; v_2 = (y_1,y_2,y_3) = (0, (1)/(√(2)), 0)

Il loro prodotto scalare è

langle v_1, v_2 rangle = Big langle (1,0,0) , (0, (1)/(√(2)), 0) Big rangle = (1)(0)-(0)(0)+2(0)((1)/(√(2)))-(1)(0)+3(0)(0) = 0

dunque sono ortogonali. Proseguiamo la verifica ponendo

v_1 = (x_1,x_2,x_3) = (1,0,0) ; v_3 = (y_1,y_2,y_3) = ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2)))

Svolgiamo il prodotto scalare

langle v_1, v_3 rangle = Big langle (1,0,0) , ((1)/(√(2)), 0, (1)/(√(2))) Big rangle = (1)((1)/(√(2)))-(0)((1)/(√(2)))+2(0)(0)-(1)((1)/(√(2)))+3(0)((1)/(√(2))) = (1)/(√(2))-(1)/(√(2)) = 0

Infine, lasciamo a voi il compito di verificare che anche

In definitiva è una base ortogonale di rispetto al prodotto scalare considerato.

Da ultimo dobbiamo controllare se la norma di ciascun vettore è 1.

***

In generale una qualsiasi base di uno spazio vettoriale , su cui è stato definito un prodotto scalare definito positivo, può essere ortogonalizzata con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, per poi renderla ortonormale dividendo ciascun vettore per la relativa norma.

Infine, è bene sapere che il concetto di base ortonormale può essere esteso a spazi vettoriali definiti nel campo dei numeri complessi a patto di considerare un prodotto hermitiano definito positivo e la relativa norma indotta.