Soluzioni
  • Una base ortonormale è una base ortogonale in cui tutti i vettori hanno norma unitaria rispetto a un fissato prodotto scalare.

    Per dare una definizione di base ortonormale più rigorosa abbiamo bisogno di uno spazio vettoriale V di dimensione n definito su \mathbb{R} e di un prodotto scalare definito positivo su V.

    Una base \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} di V è una base ortonormale se e solo se:

    - i vettori che la definiscono sono a due a due ortogonali rispetto al prodotto scalare \langle \ , \ \rangle;

    - ciascun vettore della base ha norma 1.

    In formule:

    \\ \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} \mbox{ base ortonormale di } V \iff \\ \\ \begin{cases} \langle \mathbf{v}_i , \mathbf{v}_j \rangle = 0 \mbox{ per ogni } i\neq j, \mbox{ con } i,j \in \{1,2,...,n\} \\ \\ ||\mathbf{v}_i||:=\sqrt{\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_i \rangle} =1 \mbox{ per ogni } i \in \{1,2,...,n\} \end{cases}

    All'atto pratico, per verificare se è una base è ortonormale è sufficiente controllare se è formata da vettori ortogonali a due a due, e se la norma indotta dal prodotto scalare di ciascun vettore della base è 1.

    Esempi

    1) Per ogni numero naturale n>2, la base canonica di \mathbb{R}^n

    \\ \mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..., \mathbf{e}_n\} \mbox{ dove } \\ \\ \mathbf{e}_1=(1,0,...,0,0) \\ \\ \mathbf{e}_2=(0,1,...,0,0) \\ \\ ... \\ \\ \mathbf{e}_{n-1}=(0,0,...,1,0) \\ \\ \mathbf{e}_n=(0,0,...,0,1)

    è una base ortonormale rispetto al prodotto scalare euclideo \cdot, infatti

    \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = 0 \mbox{ per ogni } i \neq j

    e la norma di ciascun vettore è 1

    ||\mathbf{e}_i||=1 \mbox{ per ogni } i \in \{1,2,...,n\}

    2) La base \mathcal{B} definita da

    \\ \mathcal{B}=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}, \mbox{ con} \\ \\ \mathbf{v}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ \\ \\ \mathbf{v}_2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

    è una base ortonormale di \mathbb{R}^2 rispetto al prodotto scalare euclideo, tant'è vero che

    - \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è un insieme formato da 2 vettori linearmente indipendenti di \mathbb{R}^2, e quindi ne costituisce una base;

    - i due vettori sono ortogonali

    \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \\ \\ \\ = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0

    - ciascuno di essi ha norma 1

    \\ ||\mathbf{v}_1|| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 \\ \\ \\ ||\mathbf{v}_2|| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1

    3) Consideriamo il seguente prodotto scalare definito positivo su V=\mathbb{R}^3

    \langle (x_1, x_2, x_3),(y_1,y_2,y_3) \rangle = x_1y_1-x_3y_1+2x_2y_2-x_1y_3+3x_3y_3

    La base \mathcal{B} data da

    \mathcal{B}=\left\{(1,0,0), \ \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right), \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}

    è una base ortonormale di \mathbb{R}^3 rispetto a \langle \ , \ \rangle.

    Verifichiamolo: poniamo

    \\ \mathbf{v}_1=(x_1,x_2,x_3)=(1,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_2=(y_1,y_2,y_3)=\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)

    Il loro prodotto scalare è

    \\ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \rangle =\Big\langle (1,0,0) \ , \ \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \Big\rangle = \\ \\ \\ = (1)(0)-(0)(0)+2(0)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-(1)(0)+3(0)(0)=0

    dunque sono ortogonali. Proseguiamo la verifica ponendo

    \\ \mathbf{v}_1=(x_1,x_2,x_3)=(1,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(y_1,y_2,y_3)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

    Svolgiamo il prodotto scalare

    \\ \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3 \rangle = \Big\langle (1,0,0) \ , \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Big\rangle = \\ \\ \\ = (1)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-(0)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+2(0)(0)-(1)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+3(0)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=0

    Infine, lasciamo a voi il compito di verificare che anche \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \rangle = 0

    In definitiva \mathcal{B} è una base ortogonale di \mathbb{R}^3 rispetto al prodotto scalare considerato.

    Da ultimo dobbiamo controllare se la norma di ciascun vettore è 1.

    \\ ||\mathbf{v}_1||=\sqrt{\langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle} = \langle (1,0,0) \ , \ (1,0,0) \rangle\ = \\ \\ = \sqrt{(1)(1)-(0)(1)+2(0)(0)-(1)(0)+3(0)(0)}=\sqrt{1}=1 \\ \\ \\ ||\mathbf{v}_2||=\sqrt{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_2 \rangle} =\sqrt{\Big\langle \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \ , \ \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \Big\rangle} = \\ \\ \\ = \sqrt{(0)(0)-(0)(0)+2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-(0)(0)+3(0)(0)}=\sqrt{1}=1 \\ \\ \\ \\ ||\mathbf{v}_3||=\sqrt{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_3 \rangle} = \sqrt{\Big\langle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \ , \ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Big\rangle} \\ \\ \\ = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \right)+2(0)(0)-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}= \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{2}{2}}=1

    ***

    In generale una qualsiasi base \mathcal{B} di uno spazio vettoriale V, su cui è stato definito un prodotto scalare definito positivo, può essere ortogonalizzata con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, per poi renderla ortonormale dividendo ciascun vettore per la relativa norma.

    Infine, è bene sapere che il concetto di base ortonormale può essere esteso a spazi vettoriali definiti nel campo \mathbb{C} dei numeri complessi a patto di considerare un prodotto hermitiano definito positivo e la relativa norma indotta.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra Lineare