Equazione differenziale non omogenea trigonometrica
Ciao raga non riesco a risolvere varie equazioni differenziali di secondo ordine, soprattutto se il termine noto è elaborato come in questo caso (è somma di funzioni trigonometriche):
Grazie mille!
Eccomi ciao fibonacci, dammi il tempo di risolverla e arrivo :)
Risposta di Ifrit
E' una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea.
Si procede come segue:
• Determiniamo la soluzione della equazione omogenea associata:
l'equazione caratteristica è:
Il discriminante associato alla equazione caratteristica è:
le radici reali e coincidenti sono:
La soluzione dell'omogenea pertanto sarà della forma:
A questo punto andiamo alla ricerca della soluzione particolare:
Ricorda che se l'equazione differenziale si presenta nella forma:
Allora possiamo trovare le soluzioni particolari delle equazioni:
e
che chiamiamo rispettivamente 
allora 
è soluzione particolare della equazione differenziale (1).
Nel nostro caso conviene quindi trovare la soluzione particolare delle equazioni differenziali:
Cominciamo con la prima equazione differenziale:
Il termine al secondo membro si presenta nella forma:
Pertanto la soluzione particolare è:
La si determina con il metodo di somiglianza.
La seconda equazione differenziale
ha per soluzione:
La soluzione particolare della equazione differenziale originaria è data dalla somma delle soluzioni particolari appena trovate:
L'integrale generale della equazione differenziale originaria è quindi:
La trattazione del metodo di somiglianza richiede un bel po' di tempo, quindi se hai necessità in tal senso ti prego di intervenire nel forum :)
Risposta di Ifrit