Segno di una funzione con esponenziale e logaritmo

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Mi servirebbe una mano per determinare il segno di una funzione in cui figurano un'esponenziale, un logaritmo e un polinomio. In teoria dovrei impostare una disequazione, solo che non so come risolvere. Potreste aiutarmi?

 

Data la funzione

 

f(x) = xe^(|x|)ln(3+x)

 

Studiare il segno di f(x), dopo aver esplicitato il dominio.

 

Grazie.

Domanda di xeltonx

 
Soluzioni

  • Il nostro compito prevede di studiare il segno della funzione

    f(x) = xe^(|x|)ln(3+x)

    non prima di aver determinato il dominio. In realtà l'unica condizione di esistenza da imporre è

    C.E.: 3+x > 0 → x > -3

    ed è dovuta al fatto che il logaritmo è ben posto nel momento in cui il suo argomento è positivo, gli altri termini non hanno invece problemi di esistenza.

    Il dominio della funzione è quindi

    Dom(f) = x∈R | x > -3 = (-3,+∞)

    Per studiare il segno della funzione impostiamo la relazione

    f(x) ≥ 0 → x e^(|x|)ln(3+x) ≥ 0

    che, a conti fatti, è una disequazione prodotto che si risolve studiando il segno di ciascun fattore e costruendo in seguito la tabella dei segni.

    • x ≥ 0 → x ≥ 0 ; • e^(|x|) ≥ 0 → ∀ x∈R ; • ln(3+x) ≥ 0 → 3+x ≥ 1 → x ≥ -2

    Riportiamo i segni in una tabella

    beginarrayc|cccccc -3 -2 0 ; hline x circ --- - --- • +++; ; e^(|x|) circ +++ + +++ + +++; ; ln(x+3) circ --- • +++ + +++; ; hline ; xe^(|x|)ln(x+3) circ +++ • --- • +++ endarray

    ed estrapoliamo le informazioni. Ricaviamo che f(x) è una funzione:

    - positiva se e solo se -3 < x < -2 ∨ x > 0;

    - nulla per x = -2 ∨ x = 0;

    - negativa per -2 < x < 0.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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