Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di calcolare il limite di successione

    \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^3}\cdot{2n-1\choose 3}

    dove {2n-1\choose 3} è il coefficiente binomiale di 2n-1 su 3. Prima di occuparci del limite, tentiamo di semplificare l'espressione della successione.

    La definizione di coefficiente binomiale e quella di fattoriale di un numero naturale consentono di scrivere le seguenti uguaglianze

    \\ {2n-1\choose 3}=\frac{(2n-1)!}{3! (2n-1-3)!}=\frac{(2n-1)!}{6(2n-4)!}= \\ \\ \\ =\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!}{6(2n-4)!}=

    Semplificato (2n-4)! ricaviamo

    =\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{6}

    di conseguenza il limite

    \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^3}\cdot{2n-1\choose 3}=

    diventa

    \\ =\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^3}\cdot\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{6}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{6n^3}=

    A questo punto sviluppiamo i prodotti al numeratore

    \\ =\lim_{n\to +\infty}\frac{(4n^2-4n-2n+2)(2n-3)}{6n^3}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{(4n^2-6n+2)(2n-3)}{6n^3}=\\ \\ \\ =\lim_{n\to +\infty}\frac{8n^3-12n^2-12n^2+18n+4n-6}{6n^3}=\\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{8n^3-24n^2+22n-6}{6n^3}=

    distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    =\lim_{n\to+\infty}\left[\frac{8n^3}{6n^3}-\frac{24n^2}{6n^3}+\frac{22n}{6n^3}-\frac{6}{6n^3}\right]=

    dopodiché semplifichiamo usando a dovere le proprietà delle potenze

    =\lim_{n\to +\infty}\left[\frac{4}{3}-\frac{4}{n}+\frac{11}{3n^2}-\frac{1}{n^3}\right]=

    Poiché i termini -\frac{4}{n}, \ \frac{11}{3n^2} e -\frac{1}{n^3} tendono a 0 per n\to +\infty, possiamo concludere che il limite è uguale a \frac{4}{3}

    =\frac{4}{3}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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