Limite di una successione con coefficiente binomiale

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Durante il compito mi è capitato il limite di una successione che non sono stato in grado di calcolare. Le mie difficoltà risiedono nel fatto che nella successione compare il coefficiente binomiale che non sono in grado di semplificare. Potreste aiutarmi?

 

Calcolare il seguente limite di successione

 

lim_(n → +∞)(1)/(n^3)·2n-1 choose 3

 

Grazie.

Domanda di rinovanchi

 
Soluzioni

  • L'esercizio ci chiede di calcolare il limite di successione

    lim_(n → +∞)(1)/(n^3)·2n-1 choose 3

    dove 2n-1 choose 3 è il coefficiente binomiale di 2n-1 su 3. Prima di occuparci del limite, tentiamo di semplificare l'espressione della successione.

    La definizione di coefficiente binomiale e quella di fattoriale di un numero naturale consentono di scrivere le seguenti uguaglianze

    2n-1 choose 3 = ((2n-1)!)/(3! (2n-1-3)!) = ((2n-1)!)/(6(2n-4)!) = ((2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)!)/(6(2n-4)!) =

    Semplificato (2n-4)! ricaviamo

    = ((2n-1)(2n-2)(2n-3))/(6)

    di conseguenza il limite

    lim_(n → +∞)(1)/(n^3)·2n-1 choose 3 =

    diventa

    = lim_(n → +∞)(1)/(n^3)·((2n-1)(2n-2)(2n-3))/(6) = lim_(n → +∞)((2n-1)(2n-2)(2n-3))/(6n^3) =

    A questo punto sviluppiamo i prodotti al numeratore

    = lim_(n → +∞)((4n^2-4n-2n+2)(2n-3))/(6n^3) = lim_(n → +∞)((4n^2-6n+2)(2n-3))/(6n^3) = lim_(n → +∞)(8n^3-12n^2-12n^2+18n+4n-6)/(6n^3) = lim_(n → +∞)(8n^3-24n^2+22n-6)/(6n^3) =

    distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

    = lim_(n → +∞)[(8n^3)/(6n^3)-(24n^2)/(6n^3)+(22n)/(6n^3)-(6)/(6n^3)] =

    dopodiché semplifichiamo usando a dovere le proprietà delle potenze

    = lim_(n → +∞)[(4)/(3)-(4)/(n)+(11)/(3n^2)-(1)/(n^3)] =

    Poiché i termini -(4)/(n), (11)/(3n^2) e -(1)/(n^3) tendono a 0 per n → +∞, possiamo concludere che il limite è uguale a (4)/(3)

    = (4)/(3)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica