Risoluzione sistema misto con un parametro

Ciao Jumpy, il sistema è dato da

radquadrata(x²-2x-8)+2x+k=0

e

4 < x < 6

per prima cosa stabiliamo le condizoni di esistenza sull'argomento della radice:

x²-2x-8≥0

il trinomio si può scomporre trovando due numeri con somma -2 e prodotto -8 :

(x-4)(x+2) ≥ 0

che ha soluzioni negli intervalli esterni alle radici:

x 4

Riscriviamo l'equazione come

radquadrata(x²-2x-8)=-2x-k

Benissimo, eleviamo al quadrato sia a sinistra che a destra dell'uguale:

[radquadrata(x²-2x-8)]²=(-2x-k)²

quindi

x² - 2x - 8 = 4x² + k² - 4kx

Sommiamo i termini simili:

3x² + (4x+2)x+k²+8=0

raccogliamo un due nel coefficiente di x in modo da poter calcolare il Δ/4, infatti qualunque numero moltiplicato per 2 è pari...

3x² + 2(2x+1)x+k²+8=0

calcoliamo il discriminante

Δ/4=(2k+1)² - 3(k²+8)

A questo punto non resta che svolgere i calcoli e discutere tutto in base al segno del discriminante: positivo, negativo, nullo.

(2k+1)² - 3(k²+8) = 4k² + 1 + 4k - 3k² - 24 = k² + 4k - 23

Anche questa volta possiamo usare il Δ/4:

Δ/4 = 4+23=27

quindi le radici dell'equaizione (quella in k!) sono

k_(1,2)= -2±√(27)

A questo punto non resta che discutere nel solito modo rispetto al segno del discriminante, ricordando poi di confrontare le soluzioni con l'intersezione tra la condizione di esistenza che abbiamo trovato e la seconda disuguaglianza del sistema:

{ 4 < x < 6 } ∩ { x 4} = { 4 < x < 6 }

Prova a procedere da qui, se trovi ulteriori problemi scrivici ancora!