Soluzioni
  • Ciao peppone19, manca la richiesta .... :D

    Risposta di Ifrit
  • Cominciamo! L'unica funzione che crea problemi è la radice quadrata la quale pretende che il suo argomento sia non negativo

    x+1\ge 0\implies x\ge -1

    Il dominio della funzione da te proposta è pertanto:

    \mbox{dom}(f)= [-1, +\infty)

    Per determinare l'immagine della funzione potremmo procedere qualitativamente, senza nemmeno fare un conto.

    Il primo passo è quello di osservare che:

    \sqrt{x+1}\ge 0

    e

    \lim_{x\to \infty} \sqrt{x+1}= +\infty

    Dunque l'immagine della funzione più interna è [0, +\infty)

    A questo punto, dobbiamo considerare l'immagine dell'arcotangente solo in 

    [0, +\infty)

    ed è: 

    \left[0, \frac{\pi}{2}\right)

    L'insieme immagine si ottiene valutando la funzione agli estremi dell'insieme [0, +\infty)

    Nel caso in cui un estremo fosse più infinito interviene il concetto di limite. Questo gioco della valutazione funziona solo quando le funzioni che intervengono sono monotone, come nel nostro caso.

    Ottimo! Ora dobbiamo lavorare con la funzione esponenziale, però solo nell'insieme [0, \pi/2)

    Per trovare la sua immagine, è sufficiente valutarla agli estremi, questo perché la funzione esponenziale è monotona crescente. 

    [1, e^{\frac{\pi}{2}}).

    Risposta di Ifrit
  • In generale come trovare insieme immagine di una funzione?

    Risposta di peppone19
  • In generale bisogna fare uno studio di funzione,  calcolare i punti di massimo e di minimo assoluti (se esistono) e utilizzare il teorema dei valori intermedi. Se però le funzioni sono sufficientemente buone, come nel nostro caso, possiamo tranquillamente farne a meno. Si risparmiano conti e quindi errori :)

    Anyway: il procedimento per il calcolo dell'immagine di una funzione è descritto nella lezione del link. ;)

    Risposta di Ifrit
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