Insieme di definizione e insieme immagine della funzione
Il problema riguarda l'insieme di definizione e l'immagine di una funzione? Sarebbe questa:
.
Vorrei che mi aiutiate a trovare l'insieme di definizione e soprattutto l'insieme immagine di questa funzione e chiedo se non è troppo come trovare l'insieme immagine di una funzione in generale.
Grazie anticipatamente...ve ne sarò veramente grato!
Ciao peppone19, manca la richiesta .... :D
Cominciamo! L'unica funzione che crea problemi è la radice quadrata la quale pretende che il suo argomento sia non negativo
Il dominio della funzione da te proposta è pertanto:
Per determinare l'immagine della funzione potremmo procedere qualitativamente, senza nemmeno fare un conto.
Il primo passo è quello di osservare che:
e
Dunque l'immagine della funzione più interna è
A questo punto, dobbiamo considerare l'immagine dell'arcotangente solo in
ed è:
L'insieme immagine si ottiene valutando la funzione agli estremi dell'insieme
Nel caso in cui un estremo fosse più infinito interviene il concetto di limite. Questo gioco della valutazione funziona solo quando le funzioni che intervengono sono monotone, come nel nostro caso.
Ottimo! Ora dobbiamo lavorare con la funzione esponenziale, però solo nell'insieme
Per trovare la sua immagine, è sufficiente valutarla agli estremi, questo perché la funzione esponenziale è monotona crescente.
.In generale come trovare insieme immagine di una funzione?
In generale bisogna fare uno studio di funzione, calcolare i punti di massimo e di minimo assoluti (se esistono) e utilizzare il teorema dei valori intermedi. Se però le funzioni sono sufficientemente buone, come nel nostro caso, possiamo tranquillamente farne a meno. Si risparmiano conti e quindi errori :)
Anyway: il procedimento per il calcolo dell'immagine di una funzione è descritto nella lezione del link. ;)
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