Punto di una semicirconferenza e somma minima

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Mi sono bloccato su un problema in cui bisogna trovare un punto incognito su una circonferenza che rende minima una somma di quadrati delle misure di alcuni lati.

 

Su una semicirconferenza di diametro AB=2r determina un punto P tale che detta C la sua proiezione sul diametro sia minima l'espressione 2AC^2+PC^2+CB^2.

Domanda di dav09

 
Soluzioni

  • Ciao! :)

    Propongo questa soluzione, che non si basa su alcun risultato della Trigonometria.

    Poniamo:

    AC=AO+ x= r+x\implies BC= AB-AC= 2r-r-x= r-x

    Per il teorema di Euclide:

    AC: PC= PC:BC

    Cioé

    PC^2= AC\times BC= (r+x) (r-x)= r^2-x^2

     2AC^2+PC^2+CB^2= 2(r+x)^2+(r+x)(r-x)+(r-x)^2

    semplificando:

    4r^2+2 rx+2 x^2

    Rappresenta una parabola convessa in x. 

    A questo punto trova il vertice o meglio l'ascissa del vertice che rappresenta il punto che minimizza la funzione cercata:

    x=\frac{ -2r}{4}=-\frac{r}{2}

    Il punto P avrà coordinate:

    (x, \pm\sqrt{2r-x^2})=\left(-\frac{r}{2}, \frac{1}{2}\sqrt{8r-r^2}\right)

    Ti torna? :)

    Risposta di Ifrit

  • il risultato che mi viene dato è CB=3/2 r

    Risposta di dav09

  • E infatti il risultato è corretto. Sappiamo che:

    x= -\frac{r}{2}\implies BC= r-x= r+\frac{r}{2}= \frac{3}{2}r

     

    Forse c'è qualche punto che ti sfugge, se è così fammelo sapere così provvedo :)

    Risposta di Ifrit
 
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