Punto su una retta equidistante da due punti

Un esercizio di Geometria Analitica chiede di trovare un punto di una retta che sia equidistante da due punti dati. Potete spiegarmi come si risolve?

Dati i punti A(1,3) e B (5,1) derermina le coordinate del punto P sulla retta r di equazione y + 3x - 1 = 0 che sia equidistante da A e da B. Trova poi le cooordinate di Q che forma con i precedenti il quadrilatero convesso PABQ con i lati AB e PQ paralleli e area 25.

Io ho trovato P(1,-2) ma non so come trovare Q, ringrazio in anticipo chi mi aiuterà!

Domanda di erica

Soluzioni

Un punto P giacente sulla retta r è del tipo:
Troviamo attraverso la formula della distanza AP e BP, mediante la formula per la distanza tra due punti
$AP= \sqrt{(x-1)^2+(-3x+1-3)^2}$
Un po' di conti:
$AP= \sqrt{(x-1)^2+(-3x-2)^2}$
BP invece vale:
$BP= \sqrt{(x-5)^2+(-3x+1-1)^2}$
un altro po' di conti:
$BP= \sqrt{(x-5)^2+(-3x)^2}$
Imponiamo l'uguaglianza:
Cioè:
$\sqrt{(x-1)^2+(-3x-2)^2}= \sqrt{(x-5)^2+(-3x)^2}$
Eleviamo al quadrato membro a membro:
Risolvendo l'equazione otterremo che la soluzione è:
Pertanto le coordinate di P sono:
ottimo il tuo risultato è corretto! :)
Per trovare le coordinate del punto Q dobbiamo trovare la retta parallela alla retta , sostegno di AB, ma prima abbiamo bisogno di
$r:\frac{x-1}{5-1}= \frac{y-3}{1-3}$
$r:\frac{x-1}{4}= \frac{y-3}{-2}$
Moltiplichiamo a croce:
A questo punto troviamo la retta parallela ad passante per
Dobbiamo richiedere che i coefficienti angolari delle due rette siano uguali:
Ma $m_r= -\frac{1}{2}$
Da cui:
$m_t= -\frac{1}{2}$
La retta t, passante per P e parallela a r, avrà quindi forma:
$t: y-(-2)= -\frac{1}{2}(x-1)$

Quello che ne verrà fuori è un romboide, avente per vertici, A B P e Q.
Poichè abbiamo la condizione di parallelismo, necessariamente Q deve appartenere alla retta dunque sarà del tipo: $Q\left(x, -\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)$
A questo punto calcoliamo le diagonali del romboide:
(lo abbiamo fatto prima ;),basta mettere 1 al posto di x nella espressione di AP).
$BQ=\sqrt{(x-5)^2+(-1/2 x-3/2-1)^2}= \frac{1}{2}\sqrt{5(x^2-6x+25)}$
Dalla formula dell'area del triangolo:
$A= \frac{AP\times BQ}{2}\implies 25$
Da cui:
$5\times\frac{1}{4}\sqrt{5(x^2-6x+25)}= 25$
Otteniamo l'equazione di secondo grado:
Le cui soluzioni sono
$x=-5\mbox{ e }x= 11$
Il punto è:
Risposta di Ifrit
Grazie Mille ;)
Risposta di erica