Soluzioni
  • Un punto P giacente sulla retta r è del tipo:

    P(x, -3x+1)

    Troviamo attraverso la formula della distanza AP e BP, mediante la formula per la distanza tra due punti

    AP= \sqrt{(x-1)^2+(-3x+1-3)^2}

    Un po' di conti:

    AP= \sqrt{(x-1)^2+(-3x-2)^2}

    BP invece vale:

    BP= \sqrt{(x-5)^2+(-3x+1-1)^2}

    un altro po' di conti:

    BP= \sqrt{(x-5)^2+(-3x)^2}

    Imponiamo l'uguaglianza:

    AP= BP

    Cioè:

     \sqrt{(x-1)^2+(-3x-2)^2}= \sqrt{(x-5)^2+(-3x)^2}

    Eleviamo al quadrato membro a membro:

    (x-1)^2+(-3x-2)^2=(x-5)^2+9x^2

    Risolvendo l'equazione otterremo che la soluzione è:

    x= 1

    Pertanto le coordinate di P sono:

    P(1, -2)

    ottimo il tuo risultato è corretto! :)

    Per trovare le coordinate del punto Q dobbiamo trovare la retta parallela alla retta r, sostegno di AB, ma prima abbiamo bisogno di r

    r:\frac{x-1}{5-1}= \frac{y-3}{1-3}

    r:\frac{x-1}{4}= \frac{y-3}{-2}

    Moltiplichiamo a croce:

    r: -2(x-1)= 4(y-3)

    r: -x+1= 2y-6

    r: -x-2y+7=0

    A questo punto troviamo la retta t parallela ad r passante per P

    Dobbiamo richiedere che i coefficienti angolari delle due rette siano uguali:

    m_r=m_t

    Ma m_r= -\frac{1}{2}

    Da cui: 

    m_t= -\frac{1}{2}

    La retta t, passante per P e parallela a r, avrà quindi forma:

    t: y-(-2)= -\frac{1}{2}(x-1)

    t: x+2y=-3

    t: y= -x/2-3/2

     

    Quello che ne verrà fuori è un romboide, avente per vertici, A B P e Q.

    Poichè abbiamo la condizione di parallelismo, necessariamente Q deve appartenere alla retta t dunque sarà del tipo: Q\left(x, -\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)

    A questo punto calcoliamo le diagonali del romboide:

    AP= 5

    (lo abbiamo fatto prima ;),basta mettere 1 al posto di x nella espressione di AP).

    BQ=\sqrt{(x-5)^2+(-1/2 x-3/2-1)^2}= \frac{1}{2}\sqrt{5(x^2-6x+25)} 

    Dalla formula dell'area del triangolo:

    A= \frac{AP\times BQ}{2}\implies 25

    Da cui:

    5\times\frac{1}{4}\sqrt{5(x^2-6x+25)}= 25

    Otteniamo l'equazione di secondo grado:

    5(x^2-6x+25)= 400

    x^2-6x+25= 80

    Le cui soluzioni sono

    x=-5\mbox{ e }x= 11

    Il punto è:

    Q(-5, 1)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie Mille ;)

    Risposta di erica
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