Soluzioni
  • Ciao Lolloviola, lo studio di funzione non è un esercizio di breve svolgimento. Ti coniglio di usare il nostro tool per il grafico di funzioni online (sotto "calcolatore automatico", "Analisi 1").

    Per il resto, qui trovi la guida passo passo per lo studio di funzioni, e resto in attesa di domande specifiche.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • eccoci! come possiamo procedere x il campo d esistenza? =)

    Risposta di lolloviola
  • Bisogna imporre che la'rgomento del logaritmo sia maggiore di zero, e quindi bisogna risolvere la disequazione che vi corrisponde:

    3^{-2x} - 3^{2x}>0

    che diventa

    3^{-2x}>3^{2x}

    ossia, applicando il logaritmo in base 3 ad entrambi i membri

    -2x>2x

    ossia

    4x<0

    ossia

    x<0

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi quali limiti devo studiare?

    Risposta di lolloviola
  • Solamente i limiti per x\to -\infty e per x\to 0^{-}.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si potrebbero vedere insieme grazie?

    Risposta di lolloviola
  • scusami mi erp scordati che l'argomento del logaritmo è tutto con un valoro assoluto! =(

    Risposta di lolloviola
  • Ciao lolloviola, la funzione è 

    f(x)= \log_3|3^{-2x}-3^{2x}|?

    In questo caso il dominio della funzione è \mathbb{R}\setminus\{0\}, quindi, devi prendere in considerazione i limiti per x che tende a 0+ e 0-, a + infinito e a - infinito. 

    Un favore. Cerca di stare più attento nello scrivere la traccia. Perdiamo un sacco di tempo in questo modo. Sarebbe utile anche imparare il latex :)

    Risposta di Ifrit
  • il log è in base 3!

    Risposta di lolloviola
  • Corretto,

    andiamo con i limiti:

    \lim_{x\to -\infty}\log_3|3^{-2x}-3^{2x}|=

    \lim_{x\to -\infty}\log_3\left|\frac{1}{3^{2x}}-3^{2x}\right|=

    \lim_{x\to -\infty}\log_3\left|\frac{1-3^{4x}}{3^{2x}}\right|=

    Per la proprietà dei logaritmi il limite precedente si esprime come:

    \lim_{x\to -\infty}\log_3\left|1-3^{4x}|-\log_3|3^{2x}|=+\infty

     

    Lo stesso ragionamento può essere applicato quando x tende a più infinito. Finora ti trovi? :)

    Risposta di Ifrit
  • ma il campo di esistenza va bene quello che si era trovato prima?

    Risposta di lolloviola
  • Il campo d'esistenza è cambiato perché hai dimenticato di scrivere il valore assoluto. 

    In tal caso bisognerebbe risolvere la disequazione:

    |3^{-2x}-3^{2x}|>0

    che è equivale alla richiesta:

    3^{-2x}-3^{2x}\ne 0\implies 3^{-2x}\ne 3^{2x}\implies -2x\ne 2x

    Da cui si ottiene che x\ne 0.

    Chiaro? Per i limiti ci sono domande?=]

    Risposta di Ifrit
  • ok perfetto....per gli intervalli di crescenza e decrescenza come debbo procedere?

     

    Risposta di lolloviola
  • Devi studiare il segno della derivata prima:D

    f'(x)= 2\frac{81^x+1}{81^x-1}\quad x\ne 0

    Lo studio del segno è praticamente immediato se si osserva che 81^x+1>0

    Quindi il segno dipende esclusivamente dal denominatore! :D

    Risposta di Ifrit
  • perchè dipende soltanto dal denominatore??? ...ma per ottenere quella derivata cosa debbo derivare tutto anche col log in base 3?

    Risposta di lolloviola
  • Ok, allora facciamo la derivata passo per passo.

    D[\log_3|3^{-2x}-3^{2x}|]= \frac{1}{|3^{-2x}-3^{2x}|\log(3)}\,\, D[|3^{-2x}-3^{2x}|]

    Questo perché la derivata del logaritmo in base tre è:

    D[\log_3 (f(x))]= \frac{f'(x)}{f(x)\log(3)}

     

    Consideriamo ora il fattore:

    D[|3^{-2x}-3^{2x}|]= \frac{|3^{-2x}-3^{2x}|}{3^{-2x}-3^{2x}}\,\, D[3^{-2x}-3^{2x}]

    Calcoliamo la derivata di 

    D[3^{-2x}-3^{2x}]=-2 3^{-2x}\log(3)-2 3^{2x}\log(3)= -2\log(3)(3^{-2x}+3^{2x})

    Ricomponiamo:

    D[\log_3|3^{-2x}-3^{2x}|]= \frac{1}{|3^{-2x}-3^{2x}|\log(3)}\,\, \frac{|3^{-2x}-3^{2x}|}{3^{-2x}-3^{2x}}\,\,\,( -2\log(3)(3^{-2x}+3^{2x}))

     

    Semplificando:

    D[\log_3|3^{-2x}-3^{2x}|]= \frac{1}{3^{-2x}-3^{2x}}\,\,\, (-2(3^{-2x}+3^{2x}))=

    = 2\frac{3^{-2x}+3^{2x}}{3^{2x}-3^{-2x}}

    Potremmo semplificare ulteriormente, ma per ora è inutile. 

    Il segno della derivata prima dipende esclusivamente dal denominatore perché il numeratore è sempre positivo (somma di esponenziali), quindi non dà contributo ai fini dello studio del segno ;)

    Risposta di Ifrit
  • ora come posso studiare la decrescenza e crescenza da questo risultato?

    Risposta di lolloviola
  • In che senso? Devi studiare il segno della derivata prima:

    2\frac{3^{-2x}+3^{2x}}{3^{2x}-3^{-2x}}>0

    Lo studio del segno mi sembra pacifico... Cosa c'è che non ti convince? 

    Il numeratore è sempre positivo. Lavoriamo solo col denominatore:

    3^{2x}-3^{-2x}>0

    3^{2x}>3^{-2x}

    2x>-2x

    4x>0

    x>0

    Da qui scopriamo che la derivata prima è positiva per x>0, dunque la funzione di partenza è crescente per x>0

    negativa per x<0, dunque la funzione di partenza è decrescente per x<0

    Non si annulla mai, non ci sono massimi e minimi relativi interni al dominio. Chiaro? :)

    Risposta di Ifrit
  • come mai il numeratore è sempre positivo?

    Risposta di lolloviola
  • Perché somma di esponenziali :)

    L'esponenziale è per definizione una funzione sempre positiva. La somma di due esponenziali è ancora positiva proprio perché somma di quantità positive :)

     

    E' un po' più chiaro? :)

    Risposta di Ifrit
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