Soluzioni
  • Ciao Dav09 :)

    La generica equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y è data da

    y=ax^2+bx+c, \mbox{ con } a\neq 0

    Per determinare univocamente la parabola (click per le formule) ci servono quindi 3 condizioni che dobbiamo ricavare dai dati forniti dal problema.

    Sappiamo che il suo asse ha equazione x=2. Ricordando che l'asse di una parabola del tipo

    y=ax^2+bx+c

    ha equazione data da

    x=-\frac{b}{2a}

    ricaviamo la prima condizione

    -\frac{b}{2a}=2

    Inoltre, poiché il punto di tangenza A(1,2) appartiene alla parabola, ne deve soddisfare l'equazione, ossia deve valere

    2=a+b+c \to \mbox{ Seconda condizione}

    La terza ed ultima condizione si ottiene imponendo che la retta in forma esplicita di equazione

    y=4-2x

    debba essere tangente alla parabola, ossia l'equazione di secondo grado che si ottiene dal sistema

    \begin{cases}y=ax^2+bx+c \\ y=4-2x\end{cases}

    deve avere discriminante nullo. Sostituiamo quindi la seconda relazione nella prima così da avere

    4-2x=ax^2+bx+c

    Ordiniamo secondo le potenze decrescenti di x

    ax^2+(b+2)x+c-4=0

    e poniamo che il discriminante associato a tale equazione sia uguale a zero

    \Delta=(b+2)^2-4a(c-4)=0

    da cui, sviluppando il quadrato di binomio:

    b^2+4b+4-4ac+16a=0 \to \mbox{ Terza condizione}

    Risolviamo ora il sistema ottenuto dalle tre condizioni trovate

    \begin{cases}-\frac{b}{2a}=2 \\ a+b+c=2 \\ b^2+4b+4-4ac+16a=0 \end{cases}

    Dalla prima equazione ricaviamo

    b=-4a. Sostituendo nella seconda

    a-4a+c=2 \to c=2+3a

    e, sostituendo nella terza

    (-4a)^2+4(-4a)+4-4a(2+3a)+16a=0

    Svolgiamo ora i conti

    16a^2-16a+4-8a-12a^2+16a=0

    da cui

    4a^2-8a+4=0

    la quale è un'equazione di secondo grado che ha due radici reali coincidenti date da

    a=1

    Possiamo ora ricavare

    b=-4a=-4

    c=2+3a=2+3=5

    La parabola cercata ha quindi equazione

    y=x^2-4x+5

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria